Enunciado

33-36 Encontre uma equação da reta tangente á curva no ponto dado.

33 .   y = 2 x 3 - x 2 + 2 ,     ( 1 ,   3 )

Passo 1

Falaaa aí galerinha bonita! Tudo joinha?!! Queremos achar a equação da reta tangente à curva:

  y = 2 x 3 - x 2 + 2

Isso no ponto ( 1 ,   3 ) . Vamos lá, a gente sabe que a equação da reta tangente é dada por:

y - f a = f ' ( a ) ( x - a )

Mas calma lá meu patrão, vamos primeiro entender o significado de cada termo ali. O f ( a ) , é valor da função y no ponto x = a , isto é, f a = y ( a ) , e f ' ( a ) é a nossa derivada de y também no ponto x = a , mais conhecido como o coeficiente angular. Então bora lá encontrar esses valores.

Trazendo pro nosso caso então, vamos derivar a função:

y = 2 x 3 - x 2 + 2

y ' = 3 2 x 3 - 1 - 2 x 2 - 1 + 0

y ' = 6 x 2 - 2 x

E então no ponto x = a = 1 , temos que:

y ' x = 6 x 2 - 2 x

y ' 1 = 6 1 2 - 2 1 = 4

Esse é o coeficiente angular da nossa reta!

Passo 2

Continuando...

Pelo próprio ponto 1 ,   3 , a gente sabe que f 1 = 3 , então montamos a equação da reta tangente como:

y - f a = f ' ( a ) ( x - a )

y - 3 = 4 ( x - 1 )

y = 4 x - 1

Belezinha então! Essa é a equação da reta tangente à função no ponto ( 1,0 ) .

Resposta

y = 4 x - 1

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Se g x = x 4 - 2 encontre g ' 1 e use-o para encontrar uma equação da reta tangente à curva y = x 4 - 2 no ponto ( 1 , - 1 ) .
Esboce o gráfico de uma função g para a qual g 0 = g 2 = g 4 = 0 , g ' 1 = g ' 3 = 0 ,g ' 0 = g ' 4 = 1 , g ' 2 = - 1 , lim x → ∞ ⁡ g ( x ) = ∞lim x → - ∞ ⁡ g x = - ∞
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Mostre que a curva y = 2 e x + 3 x + 5 x 3 não tem reta tangente com inclinação 2.
Encontre equações para ambas as retas que são tangentes à curva y = 1 + x 3 e que são paralelas à reta 12 x - y = 1 .