Enunciado

7-18 Esboce a região englobada pelas curvas e encontra a área

16. y = 1 1 - x 2 , y = 2

Passo 1

Vamos começar falando a fórmula que vamos usar nessa questão e lembrando que depois, teremos que fazer o esboço das curvas!

Essa fórmula é a 6.1.2 Fórmula para a área

Se f e g forem contínuas no intervalo [ a , b ] e se f ( x ) ≥ g ( x ) em cada x de [ a , b ] , então a área da região limitada acima por y = f ( x ) , abaixo por y = g ( x ) , à esquerda pela reta x = a e à direita pela reta x = b é

A = ∫ a b f x - g ( x ) d x

Passo 2

Vamos começar desenhando nosso gráfico para assim vermos como a região é delimitada!

Em preto está a curva y = 1 1 - x 2 e em vermelho está a função y = 2 .

Essa figura é simétrica em relação ao eixo y , o que tem a direita é igual ao que tem à esquerda, então vamos fazer a integral pensando apenas na parte da direita e depois multiplicaremos por 2 .

Quem delimita acima é a função y = 2 e quem delimita à baixo é y = 1 1 - x 2 , então

f x = 2   e   g x = 1 1 - x 2

Agora para descobrirmos quem delimita á direita, temos que igualar as duas funções, quem delimita à esquerda é x = 0 . Vamos igualar:

f x = g x

2 = 1 1 - x 2

4 = 1 1 - x 2

4 - 4 x 2 = 1

3 = 4 x 2

x = ± 3 4 = ± 3 2

Só que usaremos o x = 3 2 , pois estamos no lado positivo de x .

Portanto é delimitado à esquerda por x = 0 e à direita por x = 3 2

Vamos montar a integral, lembrando que precisamos multiplicar por 2 a expressão da área:

A = 2 ∫ 0 3 2 1 1 - x 2 - 2 d x

Passo 3

Paramos na expressão da integral, então voltaremos dela!

A = 2 ∫ 0 3 2 2 - 1 1 - x 2 d x = 2 F 3 2 - F ( 0 )

Vamos fazer primeiro a integral indefinda separadamente!

∫ 2 - 1 1 - x 2 d x = ∫ 2 d x - ∫ 1 1 - x 2 d x

∫ 1 1 - x 2 d x = sin - 1 ⁡ x + C

∫ 2 d x = 2 x + C

∫ 2 - 1 1 - x 2 d x = 2 x - sin - 1 ⁡ x + C

Então fazendo F 3 2 e F 0 , sabendo que F x = 2 x - sin - 1 ⁡ x + C

F 3 2 = 2 3 2 - sin - 1 ⁡ 3 2 = 3 - π 3

F 0 = 2 0 - sin - 1 ⁡ 0 = 0 - 0 = 0

Voltando para a integral definida:

A = 2 ∫ 0 3 2 2 - 1 1 - x 2 d x = 2 F 3 2 - F ( 0 ) = 2 3 - π 3 - 0 = 2 3 - 2 π 3

Então a área é:

A = 2 3 - 2 π 3

Resposta

A = 2 3 - 2 π 3

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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →