Enunciado

79. Uma força eletromotriz de 100 volts é aplicada a um circuito elétrico simples, consistindo em um resistor de 10 ohms e um indutor de L henrys, onde L varia com o tempo, de modo que em t s L = 0,03 + 0,01 t onde 0 ≤ t ≤ 1000 . Se i ampères for a corrente em t s e i = 0 quando t = 0 , (a) expresse i como uma função de t. (b) Ache a corrente máxima, teoricamente.

Passo 1

Para começarmos a resolver esse exercício, é preciso lembrar da existência da segunda lei de Kirchhoff, que pode ser traduzida matematicamente da seguinte maneira:

L d i d t + R i = E

Onde L é a indutância, i é a corrente, R a resistência e E a voltagem.

Segundo o enunciado:

E = 10 0

R = 1 0

L = 0,03 + 0,01 t

Nossa equação fica assim:

0,03 + 0,01 t d i d t + 10 i = 100

⇒ d i d t + 10 0,03 + 0,01 t i = 100 0,03 + 0,01 t

Assim podemos ver que a equação é do tipo:

d i d t + P t i = Q ( t )

Onde:

P t = 10 0,03 + 0,01 t           e           Q t = 100 0,03 + 0,01 t

Dado essas informações, basta usar o método do teorema 7.8.1 do Capítulo 7, seção 8 do livro.

Passo 2

Começamos achando o fator de integração.

Como P t = 10 0,03 + 0,01 t um fator de integração é:

e ∫ 10 0,03 + 0,01 t   d x = e 1000 ⋅ ln ⁡ ( 0,03 + 0,01 t ) = 0,03 + 0,01 t 1000

Passo 3

Multiplicando o fator de integração nos dois lados da equação, ficamos com:

d i d t 0,03 + 0,01 t 1000 + 10 0,03 + 0,01 t 1000 0,03 + 0,01 t i = 100 0,03 + 0,01 t 1000 0,03 + 0,01 t

⇒ d i d t 0,03 + 0,01 t 1000 + 10 0,03 + 0,01 t 999 i = 100 0,03 + 0,01 t 999

⇒ d d t 0,03 + 0,01 t 1000 i = 100 0,03 + 0,01 t 999

Integrando os dois lados, temos:

∫ d d t 0,03 + 0,01 t 1000 i d t = ∫ 100 0,03 + 0,01 t 999 d t

⇒ 0,03 + 0,01 t 1000 i = ∫ 100 0,03 + 0,01 t 999 d t

Passo 4

Vamos resolver a integral do lado direito separadamente nesse passo.

Para resolve – lá vamos fazer a seguinte substituição:

u = 0,03 + 0,01 t

d u = 0,01   d t ⇒ d t = d u 0,01

Nossa integral fica:

∫ 100 0,03 + 0,01 t 999 d t = ∫ 100 u 999 0,01   d u

= 10000 ∫ u 999 d u

= 10000 ⋅ u 1000 1000 + C

= 10 0,03 + 0,01 t 1000 + C

Passo 5

Com o resultado que obtivemos no passo 4, ficamos com:

0,03 + 0,01 t 1000 i = 10 0,03 + 0,01 t 1000 + C

⇒ i = 10 + C 0,03 + 0,01 t - 1000

Passo 6

Para acharmos o valor de C, vamos usar as condições iniciais i = 0 quando t = 0 .

i = 10 + C 0,03 + 0,01 t - 1000

⇒ 0 = 10 + C 0,03 - 1000

⇒ C 0,03 - 1000 = - 10

⇒ C = - 10 0,03 1000

Substituindo o C encontrado na equação:

i = 10 - 10 0,03 1000 0,03 + 0,01 t - 1000

⇒ i = 10 - 10 0,03 1000 0,03 + 0,01 t 1000

⇒ i = 10 - 10 1 1 + t 3 1000

⇒ i = 10 - 10 1 + t 3 - 1000

Passo 7

Para achar a corrente máxima, basta derivar a função da corrente uma vez e descobrir em que instante t a derivada é zero, sabendo basta jogar esse valor de t na função da corrente, assim obtendo a corrente máxima.

Derivando a função e igualando a zero:

i = 10 - 10 1 + t 3 - 1000

d i d t = - 10 - 1000 1 + t 3 1001 ⋅ 1 3 = 0

⇒ 10000 3 1 + t 3 1001 = 0

⇒ 1 + t 3 1001 = 0

⇒ 1 + t 3 = 0 ⇒ t = - 3

Agora jogando esse valor de t na função da corrente, iremos obter a corrente máxima.

i = 10 - 10 1 + t 3 - 1000

i = 10 - 10 1 + - 3 3 1000

= 10 - 10 1 - 1 1000

= 10 - 10 0 1000

= 10

Resposta

  1. i = 10 - 10 1 + t 3 - 1000
  2. A corrente máxima é de 10 ampères
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Ache a solução da equação diferencial que satisfaça a condição dada. x d y d x - 2 y = x 3 + 1 ; y = 1q u a n d ox = 1
Ache a solução completa para a equação diferencial: d y d x = y ln ⁡ y x + ln ⁡ y
Ache a solução completa para a equação diferencial: d y d x = 1 - 2 y 2 sec ⁡ x
Ache a solução completa para a equação diferencial: d y d x = 1 - 2 x y 1 + x 2
Ache a solução da equação diferencial que satisfaça a condição dada. x 2 + 1 d y d x + 2 x y = x 2 ; y = 0q u a n d ox = - 1