Enunciado

Ache a solução completa para a equação diferencial:

d y d x = 1 - 2 y 2 sec ⁡ x  

Passo 1

Para verificar que a equação diferencial é de primeira ordem em y , devemos coloca-la na forma:

d y d x + P x y = Q ( x )

Temos então:

d y d x = 1 2 sec ⁡ x - y sec ⁡ x ⇒ d y d x + y cos ⁡ x = cos ⁡ x 2

A equação agora está do jeiro que queríamos, com P x = cos ⁡ x e Q x = cos ⁡ x 2 . O fator de integração pelo qual devemos multiplicar a equação é então e ∫ P x d x .

Passo 2

Calculamos o fator de integração:

∫ P x d x = ∫ cos ⁡ x d x = sen ⁡ x + k

O fator de integração é então:

e ∫ P x d x = e sen ⁡ x

Multiplicando a equação diferencial por e sen ⁡ x :

e sen ⁡ x d y d x + y e sen ⁡ x cos ⁡ x = e sen ⁡ x cos ⁡ x 2 ⇒

Passo 3

Como d e sen ⁡ x d x = e sen ⁡ x cos ⁡ x , temos:

e sen ⁡ x d y d x + d e sen ⁡ x d x y = e sen ⁡ x cos ⁡ x 2 ⇒ d y e sen ⁡ x d x = e sen ⁡ x cos ⁡ x 2

Agora integrando:

∫ d y e sen ⁡ x = ∫ e sen ⁡ x cos ⁡ x 2 d x ⇒ y e sen ⁡ x = 1 2 ∫ e sen ⁡ x d sen ⁡ x = 1 2 e sen ⁡ x   + C

y = 1 2 + C e - sen ⁡ x

Resposta

y = 1 2 + C e - sen ⁡ x

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Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial y " + y = s e n ( x ) ? y = s e n ( x ) y = c o s ⁡ ( x ) y = 1 2 x s e n ( x ) y = - 1 2 x c o s ( x )
Nos problemas de 1 a 10, classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação. x 3 y ( 4 ) - x 2 y ' ' + 4 x y ' - 3 y = 0
Nos problemas de 1 a 10, classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação. d 2 y d x 2 + 9 y = sen ⁡ y
Nos problemas de 1 a 10, classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação. x 2 d y + y - x y - x e x d x = 0
Nos problemas de 1 a 10, classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação. sen ⁡ x y ' ' ' - cos ⁡ x y ' = 2