Enunciado

Ache a equação da elipse tendo as propriedades dadas e faça um esboço do gráfico.

Centro em ( 4 ,   - 2 ) , um vértice em ( 9 ,   - 2 ) , e um foco em ( 0 ,   - 2 ).

Passo 1

A questão pede a equação da elipse centrada em ( 4 ,   - 2 ) e com um vértice em ( 9 ,   - 2 ) e um foco em ( 0 ,   - 2 ) . Note que os focos, vértices e o centro dela estão alinhados na reta y = - 2 que é paralela ao eixo x , desta forma, o eixo maior da elipse é paralelo ao eixo x .

Como o centro da elipse é o ponto ( 4 ,   - 2 ) , sua equação será do tipo

x - 4 2 a 2 + y + 2 2 b 2 = 1

Além disso, a distância do vértice ao centro da elipse é a = 9 - 4 = 5 , enquanto a do foco ao centro é c = 4 - 0 = 4 .

Passo 2

Para termos a equação completa da elipse só falta achar b :

a 2 = b 2 + c 2 ⇒ 25 = b 2 + 16 ⇒ b 2 = 9 ⇒ b = 3

Assim, a equação da elipse será

x - 4 2 25 + y + 2 2 9 = 1

Passo 3

O esboço da elipse é mostrado a seguir:

Resposta

x - 4 2 25 + y + 2 2 9 = 1

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