Enunciado

82. Outra prova do teorema do cálculo.

b. Aplique o teorema do valor médio para cada termo para mostrar que F x i - F x i - 1 = f c i x i - x i - 1 para um valor de c i no intervalo ( x i - 1 ,   x i ) . Demonstre que F b - F ( a ) é uma soma de Riemann para f em [ a ,   b ] .

Passo 1

Então galera, segundo o enunciado, temos o seguinte:

F x i - F x i - 1 = f c i x i - x i - 1

De acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo, sabemos que a derivada da primitiva é igual a função do integrando, ou seja:

F ' x = f ( x )

Sendo assim, outra forma de escrever a expressão inicial é:

F x i - F x i - 1 = F ' c i x i - x i - 1

Ademais, x i - x i - 1 não se trata de uma variação finita? Então podemos escrever a expressão da seguinte forma:

F x i - F x i - 1 = f c i ∆ x i

Passo 2

Se você se lembra, da letra a) provamos a seguinte igualdade:

∑ i = 1 n F x i - F x i - 1 = F b - F ( a )

Se aplicarmos a somatória nos dois lados da expressão que escrevemos no passo anterior, teremos:

∑ i = 1 n F x i - F x i - 1 = ∑ i = 1 n f c i ∆ x i

Aqui vale ressaltar que o membro do lado direito da igualdade é exatamente a Soma de Riemann, na qual queríamos chegar, beleza?

∴ F b - F a = ∑ i = 1 n f c i ∆ x i

C.Q.D.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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