Enunciado

84. a) Desenhe uma figura como a do Exercício 83 para uma função contínua f ( x ) cujos valores decrescem constantemente à medida que x se move da esquerda para a direita ao longo de um intervalo [ a ,   b ] . Seja P uma partição de [ a ,   b ] em subintervalos de comprimento igual. Determine uma expressão para U - L análoga àquela que você encontrou no exercício 83a.

Passo 1

Então galera, uma figura possível é essa aqui ó:

No qual o ponto em x = 1 é x 0 = a e o último ponto, em x = 4,5 é x n = b . Precisamos determinar isso para que encontremos uma equação genérica nos pontos b   e a , tudo bem?

Passo 2

Primeiramente devemos determinar quem são as somas superiores e quem são as somas inferiores, ok? As partições relacionadas ao máximo, que iremos chamar de U , será:

U = m a x 1 ∆ x + m a x 2 ∆ x + …   + m a x n ∆ x

Mas po, quem são esses máximos aí? Esses máximos são os valores que a função apresenta no pontos de x , isto é:

m a x 1 = f x 0 ,   m a x 2 = f x 1 , …   , m a x n = f ( x n - 1 )  

Passo 3

Agora temos que determinar as partições relacionadas ao mínimo, certo? Esse mínimo chamaremos de L , ok? Fazendo a mesma coisa que fizemos no passo anterior, teremos:

L = m i n 1 ∆ x + m i n 2 ∆ x + …   + m i n n ∆ x

Mas quem são esses mínimos aí? De acordo com o gráfico, esses são os valores que a função apresenta nos pontos de x também, mas com uma diferença:

m i n 1 = f x 1 ,   m i n 2 = f x 2 , …   , m i n n = f ( x n )

Passo 4

Agora que determinarmos as somas superiores e inferiores, basta fazermos a diferença entre ambos ( U - L ) , assim como a questão solicita, beleza? Fazendo isso então, teremos:

U - L = m a x 1 - m i n 1 ∆ x + m a x 2 - m i n 2 ∆ x ,   …   , m a x n - m i n n ∆ x

U - L = f x 0 - f x 1 ∆ x + f x 1 - f x 2 ∆ x , …   , f x n - 1 - f x n ∆ x

Se fizéssemos isso para todos os pontos, notaríamos que sobraria o seguinte:

U - L = f x 0 - f x n ∆ x

E como, de acordo com o gráfico, x n = b e x 0 = a , então:

U - L = f a - f b ∆ x

CQD.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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