Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart - Capítulo 11.2 - Ex. 11

Ver Outros Exercícios
desse livro

9-14. Calcule pelo menos dez somas parciais da série. Faça o gráfico de ambas as sequências de termos e de somas parciais na mesma tela. Parece que a série é convergente ou divergente? Se ela for convergente, calcule a soma. Se for divergente, explique por quê.

11. ∑ n = 1 ∞ n n 2 + 4

Passo 1

Então pessoal, a questão nos pede várias coisas, então vamos tratar a questão com calma, passo a passo, ok? De início, o enunciado nos pede para calcular pelo menos dez somas parciais da série. Para calcularmos essas somas parciais, devemos fazer:

s 1 = a 1

s 2 = s 1 + a 2

s 3 = s 2 + a 3

s 9 = s 8 + a 9

s 10 = s 9 + a 10

Mas o que seriam esses termos? De forma genérica, temos que uma série é descrita da seguinte forma:

s n = ∑ n = 1 ∞ a n

No qual s n é sua n-ésima soma parcial e a n é a sequência de termos. No nosso caso, temos:

s n = ∑ n = 1 ∞ n n 2 + 4 ⇒ a n = n n 2 + 4

Passo 2

Botando em prática o conceito abordado no passo anterior, teremos:

s 1 = 1 1 2 + 4 = 0,44721

s 2 = 0,44721 + 2 2 2 + 4 = 1,15432

s 3 = 1,15432 + 3 3 2 + 4 = 1,98637

s 4 = 1,98637 + 4 4 2 + 4 = 2,88080

s 5 = 2,88080 + 5 5 2 + 4 = 3,80927

s 6 = 3,80927 + 6 6 2 + 4 = 4,75796

s 7 = 4,75796 + 7 7 2 + 4 = 5,71948

s 8 = 5,71948 + 8 8 2 + 4 = 6,68962

s 9 = 6,68962 + 9 9 2 + 4 = 7,66581

s 10 = 7,66581 + 10 10 2 + 4 = 8,64639

Passo 3

Ok, agora que descobrimos as dez somas parciais da série, basta plotarmos esses pontos em um gráfico juntamente com a sequência de termos, assim como o enunciado solicita. Se fizermos isso, obteremos o seguinte resultado:

No qual os pontos em azul são referentes às somas parciais da série e os pontos em vermelho são referentes aos valores da sequência de termos. Pelo gráfico podemos notar que os pontos da sequência de termos não se aproximam de 0 , o que é um indicativo de que a série é divergente. Ademais, os pontos das somas parciais não tendem a nenhum valor específico, que é mais um indicativo de que a série é divergente. Mas po, como faço para provar que é divergente ou não? Utilizemos o teste da divergência, que nos diz o seguinte:

“Se lim n → ∞ ⁡ a n = ∄ ou se lim n → ∞ ⁡ a n ≠ 0 , então a série é divergente.”

Se esses limites não derem isso, então a mesma será convergente. Fazendo o teste:

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ n n 2 + 4

Dividindo todos os termos por n , teremos:

lim n → ∞ ⁡ n n n 2 n 2 + 4 n 2 = 1 1 + 4 n 2

Aplicando o limite:

l i m n → ∞ 1 1 + 4 n 2 = 1

Sendo assim, a conclusão que tiramos é de que a série é divergente, assim como esperávamos!

Resposta

∑ n = 1 ∞ n n 2 + 4   é   d i v e r g e n t e

Exercícios de Livros Relacionados

Um aluno está descendo de skate uma rampa de 6,0 m de comprimento e in

Ver Mais

Uma pessoa cujo peso é 5,20 10 2 N está sendo puxada para cima vertica

Ver Mais

Calcule a integral. ∫     x e 2 x 1 + 2 x 2   d x

Ver Mais

1. Verifique que a função dada é diferenciável.b) f x , y = x 4 + y 3

Ver Mais

Calcule o centroide da área a seguir em termos das variáveis dos raios

Ver Mais