Enunciado

9-16. (a) Encontre a excentricidade, (b) identifique a cônica, (c) dê uma equação da diretriz e (d) esboce a cônica.

r = 4 5 - 4 . s e n   θ

Passo 1

A equação polar com foco na origem tem o seguinte formato, segundo a seção 10.6 do Stewart:

r = e d 1 ± e . cos ⁡ θ   o u   r = e d 1 ± e . s e n   θ

No qual e é a excentricidade e d é a diretriz da cônica em questão. Se associarmos um desses formatos com o da questão que nos foi dada, teremos que o que se assemelha é:

r = e d 1 - e . s e n   θ

Passo 2

a) A equação que nos foi dada é a seguinte:

r = 4 5 - 4 . s e n   θ

Se dividirmos todos os termos por 5 , teremos:

r = 4 5 1 - 4 5 . s e n   θ

Se fizermos uma comparação com a equação do passo 1, teremos:

e d 1 - e . s e n   θ = 4 5 1 - 4 5 . s e n   θ

- e = - 4 5

∴ e = 4 5

Passo 3

b) De acordo com a seção 10.6 do Stewart, temos que:

s e   e > 1   ⇒ H I P É R B O L E

s e   e = 1 ⇒ P A R Á B O L A

s e   e < 1 ⇒ E L I P S E

Como no nosso caso e = 4 5 e esse valor é menor do que 1 , ou seja:

e < 1

Então a nossa cônica é uma elipse.

Passo 4

c) A nossa equação tem denominador escolhido como ( 1 - e . s e n   θ ) , não é mesmo? Nesse caso, isso implica que a diretriz escolhida é da seguinte forma:

y = - d

Como e . d = 4 5 , e sabemos que e é positivo, então d = 1 . Nesse caso, nossa diretriz será:

y = - 1

Passo 5

d) Se esboçarmos a cônica, teremos:

Resposta

e = 4 5

e l i p s e

y = - 1

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