Enunciado

Encontre a equação para a cônica que satisfaz as condições dadas.

37. Elipse, focos ( ± 2 ,   0 ) , vértices ( ± 5 ,   0 )

Passo 1

Então meu amigo, a gente tem uma questão bem direta aqui.

Precisamos encontrar uma equação de cônica que satisfaça:

Elipse, focos ( ± 2 ,   0 ) , vértices ( ± 5 ,   0 )

Como os focos e os vértices estão em posições simétricas, a elipse não está transladada.

Pela definição dos vértices ( ± a ,   0 ) , sabemos que eles estão no eixo x , portanto a equação da elipse será do tipo:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Vamos também utilizar a equação que relaciona c ,   b , �� a :

c 2 = a 2 - b 2

Sendo c a distância do centro a um dos focos.

Passo 2

Precisamos encontrar o valor de b , vamos utilizar as coordenadas dos focos para encontrar c e então calcular b . Pela definição das coordenadas dos focos ( ± c ,   0 ) , logo:

c = 2

E pela equação de c :

c 2 = a 2 - b 2

Substituindo a e c :

4 = 25 - b 2

b 2 = 21

Por fim, podemos substituir o que encontramos na equação do Passo 1:

x 2 25 + y 2 21 = 1

Resposta

x 2 25 + y 2 21 = 1

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