55. Ache ∫ 4 16 D x ∫ 5 x 2 t - 1 d t d x .

Passo 1

Precisamos integrar duas vezes essa expressão começando pela integral de dentro, ok?

Passo 2

Bem, a integral de dentro é:

D x ∫ 5 x 2 t - 1 d t

Esse símbolo D x é derivada em relação a x . Então é a derivada em x da integral em t . Oi?? É, a derivada em uma variável da integral em outra. E tem um teorema no livro, o 5.8.1, primeiro teorema fundamental do cálculo que estabelece:

F x = ∫ a x f t d t

E

F ' x = f ( x ) (derivando a integral de cima dá isso aqui!)

Percebeu a semelhança?

A gente quer a derivada em x ( D x ) de uma integral (com limite superior x ) ) em outra variável ( t ), isso vai dar f x . Assim ó

D x ∫ 5 x 2 t - 1 d t = 2 x - 1

Passo 3

Agora, substituímos e resolvemos a integral de fora...

∫ 4 16 2 x - 1 d x

Tranquilo daqui em diante ;)

4 3 x 3 2 - x 4 16 =

( 4 3 16 3 2 - 4 3 4 3 2 ) - ( 16 - 4 ) =

256 3 - 32 3 - ( 4 ) =

188 3

Prontinho

Resposta

∫ 4 16 D x ∫ 5 x 2 t - 1 d t d x = 188 3

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