Enunciado

21. Se 1 + f (x) + x^2 [f (x)]^3 = 0 e f (1) = 2 , ache f^' (1) .

Passo 1

Se derivarmos implicitamente a equação, f^' (x) vai aparecer devido a regra da cadeia que vamos aplicar em [f (x)]^2 e também pela derivação simples de f (x) . Então vamos começar aplicando a derivada na equação:

(d)/(d x) (1 + f (x) + x^2 [f (x)]^3) = (d)/(d x) (0)

(d)/(d x) (1) + (d)/(d x) (f (x)) + (d)/(d x) (x^2 [f (x)]^3) = 0

f^' (x) + (d)/(d x) (x^2 [f (x)]^3) = 0

Precisamos da regra do produto:

(u * v)^' = v * u^' + u * v^'

Aplicando essa regra:

f^' (x) + ([f (x)]^3 * (2 x) + x^2 * (d)/(d x) ([f (x)]^3)) = 0

f^' (x) + 2 x [f (x)]^3 + x^2 * (d)/(d x) ([f (x)]^3) = 0

Passo 2

Para derivarmos [f (x)]^3 precisamos utulizar a regra da cadeia, ela diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

F (x) = f (g (x))

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

F^' (x) = f^' (g (x)) * g^' (x)

Nesse caso a função de fora é o expoente 2 e a função de dentro é f (x) , então podemos escrever a equação como sendo:

f^' (x) + 2 x [f (x)]^3 + x^2 * (3 [f (x)]^2 * f^' (x)) = 0

Precisamos isolar f^' (x) :

f^' (x) + f^' (x) * 3 [f (x)]^2 * x^2 = - 2 x [f (x)]^3

Tirando f^' (x) em evidência:

f^' (x) * ( 1 + 3 [f (x)]^2 * x^2 ) = - 2 x [f (x)]^3

f^' (x) = (- 2 x [f (x)]^3)/(1 + 3 [f (x)]^2 * x^2)

Passo 3

Como temos o valor de x = 1 e de f (1) = 2 , só precisamos substituir os valores para acharmos f^' (1) :

f^' (1) = (- 2 (1) [f (1)]^3)/(1 + 3 [f (1)]^2 * 1^2)

f^' (1) = (- 2 (2)^3)/(1 + 3 (2)^2)

f^' (1) = - (16)/(13)

Resposta

f^' (1) = - (16)/(13)

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