21. Se 1 + f(x) + x^2[f(x)]^3 = 0 e f(1) = 2 , ache f'(1) .

Passo 1

Se derivarmos implicitamente a equação, f ' x vai aparecer devido a regra da cadeia que vamos aplicar em f x 2 e também pela derivação simples de f x . Então vamos começar aplicando a derivada na equação:

d d x 1 + f x + x 2 f x 3 = d d x 0

d d x 1 + d d x f x + d d x x 2 f x 3 = 0

f ' x + d d x x 2 f x 3 = 0

Precisamos da regra do produto:

u ⋅ v ' = v ⋅ u ' + u ⋅ v '

Aplicando essa regra:

f ' x + f x 3 ⋅ 2 x + x 2 ⋅ d d x f x 3 = 0

f ' x + 2 x f x 3 + x 2 ⋅ d d x f x 3 = 0

Passo 2

Para derivarmos f x 3 precisamos utulizar a regra da cadeia, ela diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

F x = f g x

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

F ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Nesse caso a função de fora é o expoente 2 e a função de dentro é f x , então podemos escrever a equação como sendo:

f ' x + 2 x f x 3 + x 2 ⋅ 3 f x 2 ⋅ f ' x = 0

Precisamos isolar f ' x :

f ' x + f ' x ⋅ 3 f x 2 ⋅ x 2 = - 2 x f x 3

Tirando f ' x em evidência:

f ' x ⋅ ( 1 + 3 f x 2 ⋅ x 2 ) = - 2 x f x 3

f ' x = - 2 x f x 3 1 + 3 f x 2 ⋅ x 2

Passo 3

Como temos o valor de x = 1 e de f 1 = 2 , só precisamos substituir os valores para acharmos f ' 1 :

f ' 1 = - 2 1 f 1 3 1 + 3 f 1 2 ⋅ 1 2

f ' 1 = - 2 2 3 1 + 3 2 2

f ' 1 = - 16 13

Resposta

f ' 1 = - 16 13

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