Enunciado

Determine d y // d x por derivação implícita x ^3 + 4 x y - 3 y ^(4 // 3) = 2 x

Passo 1

Para obtermos a derivação implícita, derivamos em x ambos os lados. Ficaremos com a expressão:

(d)/(d x) ( x ^3 ) + (d)/(d x) ( 4 x y ) - 3 (d)/(d x) ( y^(4 // 3) ) = (d)/(d x) ( 2 x )

Passo 2

A primeira derivada a esquerda da igualdade e a terceira podem ser feitas aplicando a regra da potência, sendo que essa última apresentará a derivada implícita. O segundo termo à esquerda da igualdade apresenta uma derivação da multiplicação. A direita da igualdade, apresenta-se uma derivada do expoente. Assim:

3 * x ^(3 - 1) + (d)/(d x) ( 4 x ) * y + 4 x * (d y)/(d x) - 3 (4)/(3) ( y^(4 // 3 - 1) ) = 2

Passo 3

Aplicando as derivadas e simplificando o termo semelhante temos que:

3 * x ^2 + 4 y + 4 x * (d y)/(d x) - 3 (4)/(3) y^(1 // 3) (d y)/(d x) = 2

Passo 4

Pondo a derivada implícita em evidência, a expressão ficará:

3 x ^2 + 4 y + (d y)/(d x) ( 4 x - 4 y^(1 // 3) ) = 2

Podemos reescrever a expressão acima passando o 3 x ^2 + 4 y para o lado direito.

(d y)/(d x) ( 4 x - 4 y^(1 // 3) ) = - ( 3 x ^2 + 4 y ) + 2

Resposta

Passando o termo 4 x - 4 y^(1 // 3) dividindo para o outro lado, o resultado será:

(d y)/(d x) = (2 - ( 3 x ^2 + 4 y ))/(( 4 x - 4 y^(1 // 3) ))

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