Determine dy/dx por derivação implícita x^3 + 4xy - 3y^(4/3) = 2x

Passo 1

Para obtermos a derivação implícita, derivamos em x ambos os lados. Ficaremos com a expressão:

d d x ( x 3 ) + d d x ( 4 x y ) - 3 d d x ( y 4 / 3 ) = d d x ( 2 x )

Passo 2

A primeira derivada a esquerda da igualdade e a terceira podem ser feitas aplicando a regra da potência, sendo que essa última apresentará a derivada implícita. O segundo termo à esquerda da igualdade apresenta uma derivação da multiplicação. A direita da igualdade, apresenta-se uma derivada do expoente. Assim:

3 ⋅ x 3 - 1 + d d x ( 4 x ) ⋅ y + 4 x ⋅ d y d x - 3 4 3 ( y 4 / 3   -   1 ) = 2

Passo 3

Aplicando as derivadas e simplificando o termo semelhante temos que:

3 ⋅ x 2 + 4 y + 4 x ⋅ d y d x - 3 4 3 y 1 / 3 d y d x = 2

Passo 4

Pondo a derivada implícita em evidência, a expressão ficará:

3 x 2 + 4 y + d y d x ( 4 x - 4 y 1 / 3 ) = 2

Podemos reescrever a expressão acima passando o 3 x 2 + 4 y   para o lado direito.

d y d x ( 4 x - 4 y 1 / 3 ) =   - ( 3 x 2 + 4 y ) + 2

Resposta

Passando o termo 4 x - 4 y 1 / 3 dividindo para o outro lado, o resultado será:

d y d x = 2   -   ( 3 x 2 +   4 y ) ( 4 x - 4 y 1 / 3 )

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