Enunciado

Ache a altura do Cone circular reto com maior volume que pode ser inscrito numa esfera de raia a.

Passo 1

Queremos descobrir h

Visualizar o problema

Passo 2

Visualizamdo a figura 2, um corte Transversal. Podemos observar que o raio do cone (rc) é limitado pelo raio da esfera (Re), assim como também h é limitado pelo raio da esfera. Logo podemos fazer r e h como função da esfera.

r varia em relação ao ângulo ϕ , logo podemos escrever r = acos ϕ     , visto que r é a projeção horizontal de a, se olharmos para o circulo ( figura 2 )

Para acharmos h podemos montar uma tabelinha, e ver como ele varia com r

Logo podemos escrever h como R + Rsen ϕ , logo h = a ( 1 + sen ϕ ) , com ϕ   e n t r e   [ 0 , π 2 ] .

(Em teoria ϕ   poderia ser entre - π 2 , π 2     ,   c o n t u d o   c o m o   q u e r e m o s   o   m a i o r   v o l u m e   p o s s í v e l  

n ã o   n o s   e n t e r e s s a   o   i n t e r v a l o   - π 2 , 0   j á   q u e   n e s s a   p a r t e   r   s e r i a   m e n o r   q u e   R .   v i s t o   q u e   r = cos ⁡ ϕ   )    

Sendo o Volume Cone = 1/3 h . Area da Base = 1 3 h   π r ²

V = 1 3 .   a     1   +   s e n ϕ π   a c o s   ϕ ²  

V= 1 3   a 3 π   c o s 2 ϕ 1 + s e n ϕ  

Passo 3

Otimizando nosso problema . d V d ϕ = 1 3   a 3 π   2 c o s ϕ . - s e n ϕ 1 + s e n ϕ + c o s 2 ϕ c o s ϕ  

d V d ϕ = 0  

Logo 1 3   a 3 π   2 c o s ϕ . - s e n ϕ 1 + s e n ϕ + c o s 2 ϕ c o s ϕ = 0  

O que nos leva a :

2 c o s ϕ . - s e n ϕ 1 + s e n ϕ + c o s 2 ϕ c o s ϕ =   0   ,

  v i s t o   q u e   1 3 a ³ π     s ã o   c o n s t a n t e s     s ã o   c o n s t a n t e s  

Passo 4

2 c o s ϕ . - s e n ϕ 1 + s e n ϕ + c o s 2 ϕ c o s ϕ =   0

2 c o s ϕ . - s e n ϕ -   2 c o s ϕ . s e n 2 ϕ   + c o s 2 ϕ c o s ϕ =   0

cos ⁡ ϕ   - 2 s e n ϕ - 2 s e n 2 ϕ + c o s 2 ϕ = 0  

Uma solução então é c o s ϕ   =   0   ,   ϕ = π 2

Continuando a solução

- 2 s e n ϕ - 2 s e n 2 ϕ + c o s 2 ϕ = 0  

Visto que cos²x + sen²x = 1

- 2 s e n ϕ - 2 s e n 2 ϕ + 1 - s e n 2 x = 0

Fazendo u = s e n ϕ   ,   t e m o s   :    

1 - 2 u - 3 u 2 = 0

l o g o   u =   - 1   o u 1 3  

Então temos que cos ϕ = 0   ,   s e n ϕ = - 1   ,   s e n ϕ = 1 3

O que nos leva a ϕ = 90 ° ,   270 °   ,   19,5 °  

Tanto 90° quanto 270°, são vales que não nos interresao pois fornecem volume do cone = 0 (r = acos ϕ

Entao o ângulo procurado é 19,5°.

Passo 5

Lembrando que queremos h, e sabendo que sen ϕ = 1 3

Sendo h = a ( 1 + sen ϕ ) ,

h = a ( 1+1/3 )

Resposta

h = 4 3 a  

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