Enunciado

Um cone circular reto deve ser inscrito em uma esfera com um dado raio. Ache a razão entre a altura e o raio da base do cone de maior volume possível.

Passo 1

Visualizar o problema

Passo 2

Visualizamdo a figura 2, um corte Transversal. Podemos observar que o raio do cone (rc) é limitado pelo raio da esfera (Re), assim como também h é limitado pelo raio da esfera. Logo podemos fazer r e h como função da esfera.

r varia em relação ao ângulo ϕ , logo podemos escrever r = Rcos ϕ     , visto que r é a projeção horizontal de R, se olharmos para o circulo ( figura 2 )

Para acharmos h podemos montar uma tabelinha, e ver como ele varia com r

Logo podemos escrever h como R + Rsen ϕ , logo h = R ( 1 + sen ϕ ) , com ϕ   e n t r e   [ 0 , π 2 ] .

(Em teoria ϕ   poderia ser entre - π 2 , π 2       , contudo como queremos o maior volume possível

Não nos interessa o intervalo - π 2 , 0 já que nessa parte r seria menor que R. Visto que   r = cos ⁡ ϕ   )  

Sendo o Volume Cone = 1/3 h . Area da Base = 1 3 h   π r ²

V = 1 3 .   R     1   +   s e n ϕ π   R c o s   ϕ ²  

V= 1 3   R 3 π   c o s 2 ϕ 1 + s e n ϕ  

Passo 3

Otimizando nosso problema . d V d ϕ = 1 3   R 3 π   2 c o s ϕ . - s e n ϕ 1 + s e n ϕ + c o s 2 ϕ c o s ϕ  

d V d ϕ = 0  

Logo 1 3   R 3 π   2 c o s ϕ . - s e n ϕ 1 + s e n ϕ + c o s 2 ϕ c o s ϕ = 0  

O que nos leva a :

2 c o s ϕ . - s e n ϕ 1 + s e n ϕ + c o s 2 ϕ c o s ϕ =   0   ,

Visto que 1 3   R 3 π são constantes

Passo 4

2 c o s ϕ . - s e n ϕ 1 + s e n ϕ + c o s 2 ϕ c o s ϕ =   0

2 c o s ϕ . - s e n ϕ -   2 c o s ϕ . s e n 2 ϕ   + c o s 2 ϕ c o s ϕ =   0

cos ⁡ ϕ   - 2 s e n ϕ - 2 s e n 2 ϕ + c o s 2 ϕ = 0  

Uma solução então é c o s ϕ   =   0   ,   ϕ = π 2

Continuando a solução

- 2 s e n ϕ - 2 s e n 2 ϕ + c o s 2 ϕ = 0  

Visto que cos²x + sen²x = 1

- 2 s e n ϕ - 2 s e n 2 ϕ + 1 - s e n 2 x = 0

Fazendo u = s e n ϕ   , temos :

1 - 2 u - 3 u 2 = 0

l o g o   u =   - 1   o u 1 3  

Então temos que cos ϕ = 0   ,   s e n ϕ = - 1   ,   s e n ϕ = 1 3

O que nos leva a ϕ = 90 ° ,   270 °   ,   19,5 °  

Tanto 90° quanto 270°, são valores que não nos interresam pois fornecem volume do cone = 0

(r = Rcos ϕ )

Entao o ângulo procurado é 19,5°.

Passo 5

Queremos h/r

Sendo h = R ( 1 + sen ϕ ) ,

r = Rcos ϕ

logo

h/r = R   (   1   +   s e n ϕ ) R c o s ϕ   = 1   +   s e n ϕ c o s ϕ

Plotando nosso ϕ = a r c s e n 1 3 ≈ 19,5 °

h/r = 1 + 1 3 2 3 2 = 2  

Resposta

h/r = 2

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