Enunciado

Ache a área da região interior ao gráfico da lemniscata r 2 = 2 s e n 2 θ e exterior ao gráfico de r = 1 .

Passo 1

Para entender melhor a questão é bom ter uma ideia de como é o gráfico.

A região referente a área que a questão pede é a que está dentro da lemniscata, vermelho, e fora do círculo, verde.

Passo 2

Note que, como o raio da circunferência é 1 a manipulação matemática para achar os ângulos de intersecção torna-se mais simples. Ou seja, pode igualar direto as duas equações, para obter os ângulos.

2 s e n 2 θ = 1

s e n 2 θ = 1 2

Observe que, há dois ângulos no círculo trigonométrico na qual o seno é um meio.

Logo, os ângulos são θ 1 = π 12   e θ 2 = 5 π 12 .

Esta manipulação só foi possível pois a figura é simétrica, com isso, a área da parte de cima é igual a de baixo, desse modo os outros dois ângulos não precisam ser utilizados no cálculo.

Passo 3

Portanto, e sabendo que a área da região é dada por:

A = 1 2 ∫ α β f θ 2 - g θ 2 d θ

Lembre-se que a primeira equação já está ao quadrado.

A = 2 * 1 2 ∫ π 12 5 π 12 2 s e n 2 θ - 1 d θ

A = - c o s 2 θ - θ |   π 12 5 π 12

A = 0.68

Resposta

0.68

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