Enunciado

Nos exercícios de 47 a 56 , calcular a área limitada pela curva dada.

Passo 1

Sabendo que a equação que define a área de uma curva é dada por:

A = 1 2 ∫ θ 0 θ 1 f θ 2 d θ

Se torna necessário definir o intervalo de integração necessário.

Para auxiliar na resolução do exercício, pode-se notar que a equação dada representa um limaçom visto que ela tem a forma de:

r = a ± b c o s θ

Repara que é somente uma curva que está limitando a área (ele não fala que é de uma curva até a outra, por exemplo), então nem precisamos analisar a figura. Os limites de integração vão ser a volta completa no plano de coordenadas polares. O θ vai variar de - π a π . (também daria pra ser variando de 0 a 2 π )

Além disso, visto que a função cosseno é par c o s ⁡ ( θ ) = cos ⁡ - θ , ela é simétrica em relação ao eixo polar. Dessa forma é possível calcular metade do comprimento da curva de 0 a π , tal que o comprimento total será duas vezes o resultado obtido.

Passo 2

Portanto, substituindo na equação da área da curva:

A = 2 1 2 ∫ 0 π 2 - c o s θ 2 d θ

A = ∫ 0 π 4 - 4 c o s θ + c o s 2 θ d θ

Lembrando da identidade trigonométrica:

c o s 2 n x = 1 + cos ⁡ 2 n x 2

Então:

A = ∫ 0 π 4 - 4 c o s θ + 1 2 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ

A = ∫ 0 π 9 2 - 4 c o s θ + cos ⁡ 2 θ 2 d θ

Passo 3

Logo, resolvendo a integral:

A = 9 θ 2 - 4 s e n θ + s e n 2 θ 4 | π 0

E substituindo os limites de integração:

A = 9 π 2 - 4 s e n π + s e n 2 π 4

Logo:

A = 9 π 2   u . a .

Resposta

9 π 2   u . a .

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