Enunciado

Nos exercícios de 47 a 56 , calcular a área limitada pela curva dada.

Passo 1

Sabendo que a equação que define a área de uma curva é dada por:

A = 1 2 ∫ θ 0 θ 1 f θ 2 d θ

Se torna necessário definir o intervalo de integração necessário.

Para auxiliar na resolução do exercício, pode-se notar que a equação dada representa um limaçom visto que ela tem a forma de:

r = a ± b s e n θ

Além disso, visto que a função é simétrica em relação ao eixo polar, é possível calcular metade do comprimento da curva de - π / 2 a π / 2 , tal que o comprimento total será duas vezes o resultado obtido.

Passo 2

Portanto, substituindo na equação da área da curva:

A = 2 1 2 ∫ - π / 2 π / 2 4 - 4 s e n θ 2 d θ

A = ∫ - π / 2   π / 2 16 - 32 s e n θ + 16 s e n 2 θ d θ

Lembrando da identidade trigonométrica:

s e n 2 n x = 1 - cos ⁡ 2 n x 2

Então:

A = ∫ - π / 2 π / 2 16 - 32 s e n θ + 16 2 - 16 cos ⁡ 2 θ 2 d θ

A = ∫ - π / 2 π / 2 24 - 32 s e n θ - 8 cos ⁡ 2 θ d θ

Passo 3

Logo, resolvendo a integral:

A = 24 θ + 32 c o s θ - 4 s e n 2 θ | π / 2 - π / 2

E substituindo os limites de integração:

A = 24 π 2 - 24 - π 2

Logo:

A = 24 π   u . a .

Resposta

24 π   u . a .

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Substitua as equações polares nos Exercícios 27-52 por equações cartesianas equivalentes. Em seguida, descreva ou identifique o gráfico.30. rc o sθ = 0
Substitua as equações polares nos Exercícios 27-52 por equações cartesianas equivalentes. Em seguida, descreva ou identifique o gráfico.31. r c o s θ + rs e nθ = 1
Substitua as equações polares nos Exercícios 27-52 por equações cartesianas equivalentes. Em seguida, descreva ou identifique o gráfico.41. r = c o s s e cθ e r c o sθ
Substitua as equações polares nos Exercícios 27-52 por equações cartesianas equivalentes. Em seguida, descreva ou identifique o gráfico.42. r s e nθ = l n r + l n c o s θ
Substitua as equações polares nos Exercícios 27-52 por equações cartesianas equivalentes. Em seguida, descreva ou identifique o gráfico.29. rs e nθ = 0