Enunciado

Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y . Desenhe um retângulo aproximante típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região.

y = x 2 ,   y = 2 x 2 + 1

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos calcular a área da região delimitada utilizando a integração, iremos esboçar a região e desenhar um retângulo aproximante. Para isso, iremos utilizar a seguinte definição de área

Passo 2

Primeiramente, devemos encontrar a interseção das curvas. Para isso, iremos igualar as equações

y = x 2

y = 2 x 2 + 1

2 x 2 + 1 = x 2

x 4 + x 2 = 2

Dessa forma, ou x = - 1 ou x = 1 . Podemos esboçar a curva

Passo 3

Utilizando a definição do passo 1 , temos

A = ∫ - 1 1 x - x 2 d x  

A = ∫ - 1 1 2 x 2 + 1 - x 2 d x   = 2 tan - 1 ⁡ x - x 3 3 - 1 1 = π - 2 3

Resposta

A = π - 2 3

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