Enunciado

Ache todos os pontos de intercecção dos gráficos das duas curvas dadas.

r cos ⁡ θ = 1

r = 1 + 2 c o s θ

Passo 1

Lembre-se que para achar os pontos de intecção os resultados das duas equações devem ser iguais, ou seja o valor do ângulo que colocar na primeira equação tem que da o mesmo raio nas duas.

Passo 2

Desse modo, para encontrar os pontos em comum deve-se igualar as duas equações, com isso obtem apenas uma variável, no caso o ângulo θ . Note que, o raio da segunda equação já está isolado podendo substituir na primeira.

1 + 2 cos ⁡ θ cos ⁡ θ = 1

Por distributiva, temos:

2 c o s 2 θ + cos ⁡ θ = 1

2 c o s 2 θ + cos ⁡ θ - 1 = 0

Passo 3

Observe que, a equação acima é uma equação do segundo grau. Para facilitar a visualização pode-se substituir c o s θ por a. De modo, pode utilizar baskara.

2 a 2 + a - 1 = 0

a = - 1 ± 1 + 4 * 2 * 1 2 * 2 = - 1 ± 9 4

a 1 =   - 1

a 2 = 1 2

Logo, para obter os ângulos basta fazer o arc cos. Lembre-se que, há dois ângulos no circulo trigonométrico que o cos é 1 2 . Assim,

θ 1 = π

θ 2 = π 3

θ 3 = 5 π 3

Para obter os raios, basta substituir o valor do ângulos em uma das equações.

r 1 =   - 1

r 2 = 2

r 3 = 2

Resposta

(-1, π ); (2, π 3 ); (2, 5 π 3 )

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