Enunciado

Faça gráficos de f que revelem todos os aspectos importantes da curva. Em particular, você deve usar gráficos de f '   e   f ' ' para estivar os intervalos crescentes e decrescentes, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão.

f x = x 6 - 5 x 5 + 25 x 3 - 6 x 2 - 48 x

Passo 1

Bom pessoal, neste exercício nós devemos usar algum recurso para plotar gráficos e calcular valores das funções. Tendo isso, vamos ao exercício:

f x = x 6 - 5 x 5 + 25 x 3 - 6 x 2 - 48 x

As raízes reais da função são:

f x = 0 → x = 0 ;     x ≈ 3,197

Passo 2

Agora vamos para a primeira derivada:

f ' x = 6 x 5 - 25 x 4 + 75 x 2 - 12 x - 48

As raízes reais de f ' ( x ) são: x ≈ - 1,31 ;         x ≈ - 0,94 ;           x ≈ 1,06 ;           x ≈ 2,505 ;         x ≈ 2,75

Para encontrar intervalos crescentes e decrescentes, temos que analisar a primeira derivada da função, onde:

f ' x > 0 → c r e s c e n t e

f ' x < 0 → d e c r e s c e n t e

Vamos usar o gráfico e a definição acima para encontrar os intervalos crescentes e decrescentes:

Crescente:

f ' x > 0 → 6 x 5 - 25 x 4 + 75 x 2 - 12 x - 48 > 0

f ' x > 0 → x ∈ - 1,31 ; - 0,94 ∪ ( 1,06 ; 2,505 ) ∪ 2,75 ; ∞

Decrescente:

f ' x < 0 → 6 x 5 - 25 x 4 + 75 x 2 - 12 x - 48 < 0

f ' x < 0 → x   ∈ ( - ∞ ; - 1,31 ) ∪ ( - 0,94 ; 1,06 ) ∪ 2,505 ; 2,75

Passo 3

Pontos de máximos e mínimos. Para encontrar estes pontos, temos que conhecer as raízes de f ' x e avaliar se há troca de sinal de f ' x .   Ou então avaliar o sinal da segunda derivada f ' ' x nas raízes de f ' x .

S e   f ' c = 0   e   f ' ' c > 0 → e n t ã o   c   é   p o n t o   d e   m í n i m o

S e   f ' c = 0   e   f ' ' c < 0 → e n t ã o   c   é   p o n t o   d e   m á x i m o

Vamos então calcular a segunda derivada de f x :

f ' ' x = 30 x 4 - 100 x 3 + 150 x - 12

Suas raizes valem: x ≈ - 1,1 ;           x ≈ 0,08 ;           x ≈ 1,72 ;             x ≈ 2,63

Plotando o gráfico, temos:

Checando então nas raízes de f ' x : x ≈ - 1,31 ;         x ≈ - 0,94 ;           x ≈ 1,06 ;           x ≈ 2,505 ;         x ≈ 2,75

x ≈ - 1,31 → f ' ' - 1,31 > 0 → p o n t o   d e   m í n i m o    

      x ≈ - 0,94 → f ' ' - 0,94 < 0 → p o n t o   d e   m á x i m o

x ≈ 1,06 → f ' ' 1,06 > 0 → p o n t o   d e   m í n i m o    

    x ≈ 2,505 → f ' ' 2,505 < 0 → p o n t o   d e   m á x i m o

x ≈ 2,75 → f ' ' 2,75 > 0 → p o n t o   d e   m í n i m o    

Passo 4

Para analisar a concavidade da função e achar seus intervalos, devemos usar a segunda derivada da função.

f ' ' x > 0 → c o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a

f ' ' x < 0 → c o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o

Pontos de inflexão ocorrem na mudança de concavidade.

Vamos então usar os gráficos e a equação para ajudar a achar a concavidade. As raízes podem ajudar a identificar:

f ' ' x = 30 x 4 - 100 x 3 + 150 x - 12

Suas raizes valem: x ≈ - 1,1 ;           x ≈ 0,08 ;           x ≈ 1,72 ;             x ≈ 2,63

Analisando os intervalos:

f ' ' x > 0 → x   ∈ - ∞ ; - 1,1 ∪ 0,08 ; 1,72 ∪ ( 2,63 ; ∞ )

f ' ' x < 0 → x   ∈ - 1,1 ; 0,08   ∪ ( 1,72 ; 2,63 )

Logo, os intervalos são:

C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a → x   ∈ - ∞ ; - 1,1 ∪ 0,08 ; 1,72 ∪ ( 2,63 ; ∞ )

C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o → x   ∈ - 1,1 ; 0,08   ∪ ( 1,72 ; 2,63  

P o n t o s   d e   i n f l e x ã o →   x ≈ - 1,1 ;           x ≈ 0,08 ;           x ≈ 1,72 ;             x ≈ 2,63

Agora vamos ver novamente o gráfico de f(x) para confirmar todos os valores encontrados:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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