Enunciado

Ache o comprimento do arco da curva 6 y 2 = x x - 2 2 no primeiro quadrante, do ponto ( 2,0 ) ao ponto 8,4 3 .

Passo 1

Pessoal, para resolver, a primeira coisa a se fazer é lembrar a fórmula que calcula o comprimento de uma curva f ( x ) em um intervalo [ a , b ] .

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Essa é a fórmula. Perceba que precisamos de uma f ( x ) , isso indica que vamos precisar isolar o y na equação do enunciado. Façamos isso então.

6 y 2 = x x - 2 2   →     y = ± 1 6 x x - 2 2 = ± 1 6 x | x - 2 |

Como é no primeiro quadrante, e x ≥ 2 , temos:

f x = 1 6 x x - 2 = 1 6 x 1 2 x - 2 = x 3 2 - 2 x 1 2 6

Ok! Podemos prosseguir.

Passo 2

Precisamos de [ f ’ x ] e do intervalo de integração para montar a integral.

Se f x = x 3 2 - 2 x 1 2 6 , então:

f ' x = 3 2 x 3 2 - 1 - 2 2 x 1 2 - 1 6 = 3 x 3 2 - 1 - 2 x 1 2 - 1 2 6 = 3 x 1 2 - 2 x 2 6 = 3 x - 2 2 6 x

Já o intervalo de integração será de x = 2 até x = 8 .

Sendo assim, o comprimento é dado por:

L = ∫ 2 8 1 + 3 x - 2 2 6 x 2 d x = ∫ 2 8 24 x + 9 x 2 - 12 x + 4 24 x d x = ∫ 2 8 9 x 2 + 12 x + 4 24 x d x

= ∫ 2 8 3 x + 2 2 24 x d x = ∫ 2 8 3 x + 2 24 x d x = 1 24 ∫ 2 8 3 x + 2 x d x

1 24 ∫ 2 8 3 x + 2 x 1 2 x d x = 1 24 ∫ 2 8 3 x 3 2 + 2 x 1 2 x d x = 1 24 ∫ 2 8 3 x 1 2 + 2 x - 1 2 d x

Passo 3

Sabemos da integral definida que:

∫ a b f x d x = F b - F a

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

L = 1 24 ∫ 2 8 3 x 1 2 + 2 x - 1 2 d x = 1 24 3 x 1 2 + 1 1 2 + 1 + 2 x - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 2 8

= 1 24 2 ( 8 ) 3 2 + 4 ( 8 ) 1 2 - 2 ( 2 ) 3 2 + 4 ( 2 ) 1 2

= 1 24 2 ( 2 2 ⋅ 2 ) 3 2 + 4 ( 2 2 ⋅ 2 ) 1 2 - 2 ( 2 2 ⋅ 2 ) 1 2 + 4 ( 2 ) 1 2

= 1 24 2 ⋅ 2 3 ( 2 2 ⋅ 2 ) 1 2 + 8 ( 2 ) 1 2 - 4 2 1 2 - 4 ( 2 ) 1 2

= 1 24 32 2 + 8 2 - 4 2 - 4 2

= 32 2 24 = 32 12 = 32 4 ⋅ 3   = 32 2 3 = 16 3 = 16 3 3   u . c

Esse é o resultado procurado.

Resposta

L = 16 3 3   u . c

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Ache o comprimento do arco de curva x a 2 3 + y b 2 3 = 1 no primeiro quadrante, do ponto x = 1 8 a ao ponto onde x = a .
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Ache o comprimento do arco da parábola y = x 2 de ( 0,0 ) a ( 1,1 ) .