Enunciado

Determine a função comprimento de arco para o gráfico f x = 2 x 3 2 usando 0,0 como ponto inicial. Qual é o comprimento da curva de 0,0 até 1,2

Passo 1

Para calcularmos o comprimento da curva, devemos usar a fórmula para o comprimento.

Como temos uma função de x , a fórmula vai ser:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Entao precisamos de duas coisas, o intervalo de intergração, e a derivada da f x , que é a função do enunciado.

O intervalo é de x = 0 , que é o ponto inicial, até x = a que é um ponto final qualquer. Assim vamos achar a função, em a , do comprimento de arco.

Vamos para a derivada.

f x = 2 x 3 2

Derivando, vamos ter:

f ' x = 2 3 2 x 1 2

f ' x = 3 x 1 2

Passo 2

Vamos para a interal do comprimento agora, usando oque achamos:

L a = ∫ 0 a 1 + 3 x 1 2 2 d x

Como x é sempre positivo no intervalo de integração, podemos cortsar aquele expoente ½ com aquele quadrado sem necessidade de colocar o módulo

L a = ∫ 0 a 1 + 3 x d x

Passo 3

Vamos resolver essa integral:

L a = ∫ 0 a 1 + 3 x d x

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ 1 + 3 x d x

Vamos usar a substituição simples, fazendo:

1 + 3 x = a → 3 d x = d a → d x = 1 3 d a

A integral vai ficar:

∫ 1 + e x d x = ∫ a d a 3 = 1 3 ∫ a d a

Escrevendo aquela raiz como potência:

a = a 1 2

Nossa integral em a fica:

1 3 ∫ a d a = 1 3 ∫ a 1 2 d a = 1 3 a 3 2 3 / 2 + C = 1 3 2 3 a 3 2 + C = 2 9 a 3 2 + C

Voltando para x :

2 9 a 3 2 + C = 2 9 1 + 3 x 3 2 + C

Passo 4

Voltando para a nossa integral definida:

L a = ∫ 0 a 1 + 3 x d x = 2 9 1 + 3 x 3 2 0 a =

2 9 1 + 3 a 3 2 - 2 9 1 + 3 0 3 2 =

2 9 1 + 3 a 3 2 - 2 9 =

L a = 2 9 1 + 3 a 3 2 - 2 9

Passo 5

O comprimento vai ser o valor da nossa função comprimento de arco para a = 1 , que é o valor de x no ponto final.

L 2 = 2 9 1 + 3.2 3 2 - 2 9

L 2 = 2 9 7 3 2 - 2 9

Resposta

L a = 2 9 1 + 3 a 3 2 - 2 9

Compriomento de 0,0 até 1,2

2 9 7 3 2 - 2 9

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Desenhe a curva dada (coordenadas polares). ρ = 1 - sen ⁡ θ