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Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y , do conjunto de todos os pares (x,y), tais que :

0 ≤ x ≤ 1 ,   x ≤ y ≤ x 2 + 1  

Passo 1

Faremos três gráficos e mais a interseção entre eles. Lembrando que faremos 1 gráfico para cada lado da inequação em y .

Sem mais enrolação, vamos começar pelo que nos dará a direção, dá uma olhadinha nesses gráficos que estão aqui embaixo:

0 ≤ x ≤ 1

x ≤ y

y ≤ x 2 + 1  

E agora iremos fazer o gráfico da interseção em verde:

Passo 2

Passo 3

Passo 4

Passo 5

Vamos organizar as informações, chamaremos de V 1 , o volume delimitado pela função y = x 2 + 1 e com limite de integração de 0   a   1 .

V 2 , o volume delimitado pela função   y = x e com limite de integração de 0   a   1 , lembre-se que

O nosso volume será dado pela subtração entre V 1 e V 2

A fórmula aqui embaixo, aqui tem informação!!!

V = 2 π ∫ x y d x

Passo 6

Faremos o cálculo de V 1 , vem comigo!

V 1 = 2 π ∫ 0 1 x 2 + 1   d x = 2 π ∫ 0 1 x 2 d x + ∫ 0 1 d x = 2 π x 3 3 1 0 + 2 π x 2 2 1 0 = 3 π 2

Faremos agora o cálculo de V 2 , vem sem medo, continuaremos:

V 2 = 2 π ∫ 0 1 x 2 d x = 2 π x 3 3 1 0 = 2 π 3

Enfim, faremos para terminar a subtração dos dois volumes calculados e dessa forma acabará o nosso sofrimento:

V = V 1 - V 2 = 3 π 2 - 2 π 3 = 5 π 6

Resposta

V = 5 π 6

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