Ache o comprimento da curva.

y = 1 + 6x^(3/2) , 0 <= x <= 1

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar o comprimento da curva y = 1 + 6 x 3 / 2 , no intervalo 0 ≤ x ≤ 1 .

Pra isso, precisamos lembrar da fórmula do comprimento de arco:

L = ∫ a b 1 + y ' 2   d x

Onde y ' é a derivada da nossa função e [ a ,   b ] é o intervalo considerado. Então, basta substituir tudo na fórmula e calcular a integral.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando a nossa função:

y ' = 3 2 ⋅ 6 x 1 / 2

y ' = 9 x

Elevando esse resultado ao quadrado e somando 1 , pra ficar igual ao integrando da nossa fórmula, vamos ter:

1 + y ' 2 = 1 + 81 x

Passo 3

Desta forma, o comprimento é dado pela integral:

L = ∫ 0 1 1 + 81 x   d x

Vamos fazer a mudança de variável u = 1 + 81 x ⇒ d u = 81 d x . Assim, d x = d u / 81 . Quando x = 0 , u = 1 e para x = 1 , u = 82 . Assim, temos:

L = 1 81 ∫ 1 82 u   d u

Integrando em relação a u :

L = 1 81 2 3 u 3 / 2 1 82

E aplicando os limites de integração:

L = 2 243 ( 82 3 / 2 - 1 )

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

2 243 ( 82 3 / 2 - 1 )

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