Enunciado

Encontre a função comprimento de arco para a curva

y = s e n - 1 x + 1 - x 2

com ponto inicial ( 0,1 ) .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a função comprimento da curva y = s e n - 1 x + 1 - x 2 , com ponto inicial ( 0 ,   1 ) .

Pra isso, precisamos lembrar da fórmula da função comprimento de arco:

s x = ∫ a x 1 + d y d x 2   d x

Onde d y d x é a derivada da nossa função. Então, vamos derivar a nossa função, substituir tudo na fórmula e calcular a integral.

Vamos lá!

Passo 2

Como podemos ver na fórmula, precisamos conhecer a derivada de y em relação a x . Vamos encontrar?

d y d x = d d x s e n - 1 x + 1 - x 2

Vamos derivar então um termo de cada vez:

d d x s e n - 1 x = 1 1 - x 2

d d x 1 - x 2 = - x 1 - x 2

Agora somando:

d y d x = 1 1 - x 2 - x 1 - x 2 = 1 - x 1 - x 2 .

Substituindo na integral, temos então:

s x = ∫ a x 1 + 1 - x 1 - x 2 2   d x

Passo 3

Antes de integrar, temos que definir o intervalo de integração.

Como o ponto inicial é no ponto ( 0,1 ) , consideraremos apenas o intervalo 0 ; x .

Então temos

s x = ∫ 0 x 1 + 1 - x 1 - x 2 2   d x

Agora só falta integrar!

Passo 4

Pra matar a questão, precisamos resolver a integral. Vamos então organizar melhor a expressão dentro do parêntese.

s x = ∫ 0 x 1 + x 2 - 2 x + 1 1 - x 2   d x

Fazendo o MMC podemos juntar tudo:

s ( x ) = ∫ 0 x 1 - x 2 1 - x 2 + x 2 - 2 x + 1 1 - x 2   d x

= ∫ 0 x 2 - 2 x 1 - x 2 d x

Agora vamos tentar simplificar mais um pouco:

= ∫ 0 x 2 1 - x 1 + x 1 - x d x

= ∫ 0 x 2 1 + x d x

= ∫ 0 x 2 1 + x d x

Agora melhorou, né?!

Passo 5

Pra finalizar, podemos resolver fazendo uma substituição simples.

u = 1 + x   ⟹ d u = d x

Assim nossa integral fica:

s x = 2 ∫ 1 1 + x 1 u d u

Integrando em relação u , temos:

s x = 2   2 u 1 2 1 1 + x

E aplicando os intervalos de integração:

s x = 2 ∙ 2 ∙ 1 + x - 1

Portanto, a nossa função comprimento de arco é:

s x = 2 2   1 + x - 1

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

s x = 2 2   1 + x - 1 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Desenhe a curva dada (coordenadas polares). ρ = 2
Desenhe a curva dada (coordenadas polares). ρ = cos ⁡ 3 θ
Desenhe a curva dada (coordenadas polares). ρ = 2 - cos ⁡ θ
Ache o comprimento do arco da curva 6 y 2 = x x - 2 2 no primeiro quadrante, do ponto ( 2,0 ) ao ponto 8,4 3 .
Ache as coordenadas do centro de massa de quatro partículas com igual massa localizadas nos pontos ( 3,0 ) ,( 2,2 ) ,( 2,4 ) e ( - 1,2 ) .