Repita o Exercício 27 para a curva

y = x + sen(x), 0 <= x <= 2pi

Passo 1

  1. Desenho:
  2. Passo 2

  3. Esboço do desenho:
  4. Digamos que f x = y = x 4 - x 3 . O polígono de um lado é apenas o seguimento de reta unindo os pontos 0 ,   f 0 = 0,0 e 2 π ,   f 2 π = 2 π , 2 π , e seu comprimento é

    2 π - 0 2 + 2 π - 0 2 = 2 2 π ≈ 8.9

    O polígono de dois lados une os pontos 0,0 , π ,   f ( π ) = ( π , π ) , e 2 π , 2 π . Seu comprimento é

    π - 0 2 + π - 0 2 + 2 π - π 2 + 2 π - π 2 = 2 π + 2 π = 2 2 π ≈ 8.9

    Note pelo desenho que as duas aproximações são as mesmas porque os lados dos polígonos de dois lados são, de fato, a mesma linha, desde que f π = π = 1 2 f ( 2 π ) .

    Similarmente, o polígono inscrito com quatro lados une os pontos 0,0 ,   π 2 , π 2 + 1 ,   π , π ,   ( 3 π 2 , 3 π 2 - 1 ) e ( 2 π , 2 π ) , então seu comprimento é

    π 2 2 + π 2 + 1 ² + π 2 2 + π 2 - 1 ² + π 2 2 + π 2 - 1 ² + π 2 2 + π 2 + 1 ² ≈ 9.4

    Passo 3

  5. Usando a fórmula de comprimento do arco com
  6. d y d x = 1 + cos ⁡ x

    o comprimento da curva é

    L = ∫ 0 2 π 1 + 1 + cos ⁡ x 2 d x = ∫ 0 2 π 2 + 2 cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x d x

    Passo 4

  7. De acordo com uma calculadora, o comprimento da curva é L ≈ 9.5076 . O valor real é maior do que qualquer uma das aproximações feitas na parte (b). Isso é sempre verdade, desde que qualquer aproximação pela reta esquerda entre dois pontos na curva é menor do que o comprimento da curva entre esses dois pontos.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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