Enunciado

Seja f x = x e - x se x ≥ 0 e f x = 0 se x < 0 .

  1. Verifique que f é uma função densidade de probabilidade.
  2. Calcule P ( 1 ≤ X ≤ 2 ) .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar que a função f x = x e - x , se x ≥ 0 e f x = 0 , se x < 0 , é uma função densidade de probabilidade. E depois calcular a probabilidade P ( 1 ≤ X ≤ 2 ) .

Em geral, a função densidade de probabilidade f de uma variável aleatória X satisfaz f x ≥ 0 para todo x . Além disso, como as probabilidades são medidas em uma escala de 0 até 1 , segue que:

∫ - ∞ ∞ f ( x ) d x = 1

Então, o que precisamos fazer é provar que f ( x ) é maior ou igual a zero para todo x e verificar se a integral da função de - ∞ a vai dar 1 . Depois, calculamos a probabilidade P no intervalo 1 ≤ X ≤ 2 , usando a fórmula:

P a ≤ X ≤ b = ∫ a b f ( x ) d x

Vamos lá!

Passo 2

A questão já nos diz que f x = x e - x ≥ 0 se x ≥ 0 e f x = 0 se x < 0 , isso significa que ela vai ser sempre maior ou igual a zero para todo x , ou seja:

f x ≥ 0       p a r a   t o d o     x

Agora vamos verificar a segunda condição, calculando a integral:

∫ - ∞ ∞ f x d x

Substituindo f x = x e - x e a condição x ≥ 0 (que representa o intervalo [ 0 ,   ∞ ] ), temos:

= ∫ 0 ∞ x e - x d x

Isso nos dá uma integral imprópria, que pode ser escrita na forma do limite:

= lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t x e - x d x

Integrando, temos:

l i m t → ∞ - x e - x - e - x 0 t

Aplicando o intervalo de integração:

l i m t → ∞ - t e - x - e - x + 0 + 1

Assim, quando t vai para infinito, temos que - t e - x e - e - x vão pra zero. Então, só nos sobra:

= 1

Logo, ∫ - ∞ ∞ f ( x ) d x = 1 e, portanto, f é uma função densidade de probabilidade.

Passo 3

Agora calculando a probabilidade P 1 ≤ X ≤ 2 usando a fórmula:

P a ≤ X ≤ b = ∫ a b f ( x ) d x

Temos:

P 1 ≤ X ≤ 2 = ∫ 1 2 x e - x d x

Integrando:

= - x - 1 e - x 1 2

Aplicando os limites de integração:

= - 3 e - 2 + 2 e - 1

= 2 e - 3 e 2

E obtemos:

≈ 0.33

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

  1. f é uma função densidade de probabilidade
  2. 0.33
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