Ache o comprimento da curva.

y^2 = 4x, 0 <= y <= 2

Passo 1

Devemos calcular o comprimento da curva no intervalo dado. Aqui podemos escolher se escolhemos y como função de x ou o contrário. Vou escolher usar x como função de y , assim x = y 2 / 4 e usaremos a fórmula

L = ∫ a b 1 + x ' 2   d y

Derivando x com relação a y :

x ' = 2 ⋅ y 4 = y 2

Assim,

1 + x ' 2 = 1 + y 2 4 = 4 + y 2 4

Portanto,

1 + x ' 2 = 4 + y 2 2

Passo 2

Desta forma, o comprimento é dado pela integral

L = 1 2 ∫ 0 2 4 + y 2   d y

Essa é uma integral que se resolve com substituição trigonométrica. Vamos chamar y = 2   t g   t , de modo que d y = 2 sec 2 ⁡ t d t . Assim, 4 + y 2 = 4 + 4 t g 2 t = 2 1 + t g 2 t = 2 sec 2 ⁡ t = 2 sec ⁡ t .

Desta forma,

L = 1 2 ⋅ ∫ 0 π 4 2 sec ⁡ t 2 sec 2 ⁡ t   d t = 2 ∫ 0 π 4 sec ⁡ t sec 2 ⁡ t   d t

Para calcular a integral de secante ao cubo, vamos usar integral por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Passo 3

Chamando u = sec ⁡ t e d v = sec 2 ⁡ t   d t , temos que d u = sec ⁡ t   t g   t   d t e v = t g   t . Assim,

L = 2 ∫ 0 π 4 sec 3 ⁡ t   d t = 2 sec ⁡ t   t g   t 0 π 4 - 2 ∫ 0 π 4 t g 2 t sec ⁡ t

= 2   1 cos ⁡ t t g   t 0 π 4 - 2 ∫ 0 π 4 t g 2 t sec ⁡ t d t

L = 2 2 - 2 ∫ 0 π 4 t g 2 t sec ⁡ t d t

Por outro lado, podemos escrever t g 2 t = sec 2 ⁡ - 1 , assim

∫ 0 π 4 sec 3 ⁡ t   d t = 2 2 - 2 ∫ 0 π 4 sec 3 ⁡ t   d t + 2 ∫ 0 π 4 sec ⁡ t   d t

Veja que uma integral se repete, então podemos passar ela para o outro lado:

3 ∫ 0 π 4 sec 3 ⁡ t   d t = 2 2 + 2 ∫ 0 π 4 sec ⁡ t   d t = 2 2 + 2 ln ⁡ sec ⁡ t + t g   t 0 π / 4 = 2 2 + 2 ln ⁡ ( 1 + 2 )

Assim,

L = ∫ 0 π 4 sec 3 ⁡ t   d t = 1 3 2 2 + 2 ln ⁡ 1 + 2

Feshow!

Resposta

1 3 2 2 + 2 ln ⁡ 1 + 2

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