Enunciado

Ache o comprimento da curva.

y = ln ( 1 - x^2 ) , 0 <= x <= 1 // 2

Passo 1

Devemos calcular o comprimento da curva no intervalo dado. Para isso, vamos usar a expressão

L = int_a^b sqrt(1 + (y^')^2) d x

O que devemos fazer primeiro é achar y ' :

y^' = (1)/(1 - x^2) * (1 - x^2)^' = - (2 x)/(1 - x^2)

Assim,

1 + (y^')^2 = 1 + (4 x^2)/((1 - x^2)^2) = (1 - 2 x^2 + x^4 + 4 x^2)/((1 - x^2)^2) = (x^4 + 2 x^2 + 1)/((1 - x^2)^2) = ((x^2 + 1)/(1 - x^2))^2

Passo 2

Desta forma, o comprimento é dado pela integral

L = int_0^(1 // 2) sqrt(((x^2 + 1)/(1 - x^2))^2) d x = int_0^(1 // 2) (x^2 + 1)/(1 - x^2) d x

Para resolvermos essa integral, vamos usar frações parciais. Dividindo x^2 + 1 por 1 - x^2 :

x^2 + 1 = - (1 - x^2) + 2

Assim,

(x^2 + 1)/(1 - x^2) = (2 - ( 1 - x^2 ))/(1 - x^2) = (2)/(1 - x^2) - 1

Agora,

(2)/(1 - x^2) = (2)/(( 1 - x ) ( 1 + x )) = (A)/(1 - x) + (B)/(1 + x) = (A (1 + x) + B ( 1 - x ))/(( 1 - x ) ( 1 + x ))

Assim,

A + A x + B - B x = (A + B) + (A - B) x = 2

Portanto,

{[[A + B = 2],[A - B = 0]])

Resolvendo o sistema, chegamos a A = B = 1 . Assim,

(x^2 + 1)/(1 - x^2) = (1)/(1 - x) + (1)/(x + 1) - 1 = (1)/(x + 1) - (1)/(x - 1) - 1

Desta forma,

L = int_0^((1)/(2)) ((1)/(x + 1) - (1)/(x - 1) - 1) d x = [ln | x + 1 | - ln | x - 1 | - x]_0^((1)/(2)) = [ln |(x + 1)/(x - 1)| - x]_0^((1)/(2))

Então,

L = ln |(3 // 2)/(- 1 // 2)| - (1)/(2) - ln 1 + 0 = ln 3 - (1)/(2)

Resposta

ln 3 - (1)/(2)

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