Ache o comprimento da hipociclóide:

x = 4   s e n 3 t y = 4 cos 3 ⁡ t   ,   t ∈ 0,2 π

Passo 1

Por definição, o comprimento de arco para funções parametrizadas é dado pela seguinte integral:

s =   ∫ t 0 t 1 x ' t 2 + y ' t 2   d t

Assim, nossos limites de integração pelo enunciado são: t 0 = 0     e     t 1 = 2 π .

As derivadas das nossas funções são dadas por:

x ' = 4 .   3   s e n 2 t × cos 3 ⁡ t = 12   s e n 2 t cos ⁡ t

y ' = 4.3 cos 2 ⁡ t × - s e n 3 t =   - 12 cos 2 ⁡ t   s e n t

Passo 2

Aplicando os valores na integral, temos que:

s = ∫ 0 2 π 12 s e n 2 t cos ⁡ t 2 + 12 cos 2 ⁡ t   s e n   t 2 d t =

∫ 0 2 π 144 s e n 4 t cos 2 ⁡ t + 144 cos 4 ⁡ t s e n 2 t   d t = ∫ 0 2 π 12   s e n   t cos ⁡ t   d t

Passo 3

Fazendo substituição: u = s e n   t ⇒ d u = cos ⁡ t   d t

⇒ 4 ∫ 0 π / 2 12 u   d u = 4 . 12 ∫ 0 π / 2 u   d u = 48 u 2 2   π / 2 0 = 24 s e n 2 t π / 2 0  

Lembre-se que a integração por substituição consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f ( x ) por uma variável simples ( u ) e que resulte em um d u = f ’ ( x ) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

Passo 4

Aplicando os limites de integração, obtemos:

⇒ s = 24 1 - 0 = 24       u . c .

Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração (   a   e   b ) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Resposta

s = 24     u . c .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados