Enunciado

Determine o comprimento das curvas. Se tiver um programa gráfico, talvez queira esboçar o gráfico dessas curvas para ver como elas são

x = ∫ 0 y sec 4 ⁡ t - 1 d t

- π 4 ≤ y ≤ π 4

Passo 1

Para calcularmos o comprimento da curva, devemos usar a fórmula para o comprimento.

Como temos uma função de y , a fórmula vai ser:

L = ∫ a b 1 + f ' y 2 d y

Entao precisamos de duas coisas, o intervalo de intergração, que ele deu no enunciado, e a derivada, em y , da f y , que é a função do enunciado.

O intervalo é de y = - π 4 até y = π 4 , vamos para a derivada.

f y = ∫ 0 y sec 4 ⁡ t - 1 d t

Para derivar, vamos usar o teorema fundamental do cálculo, encontramos:

f ' y = sec 4 ⁡ y - 1

Passo 2

Vamos para a interal do comprimento agora, usando oque achamos:

L = ∫ - π 4 π 4 1 + sec 4 ⁡ y - 1 2 d y

O valor de sec 4 ⁡ y - 1 sempre vai ser positivo no intervalo de integração, podemos cortar aquele expoente ½ com aquele quadrado sem necessidade de colocar o módulo

L = ∫ - π 4 π 4 1 + sec 4 ⁡ y - 1 d y

L = ∫ - π 4 π 4 sec 4 ⁡ y d y

Cortando a raiz com o sec 4 ⁡ x

L = ∫ - π 4 π 4 sec 2 ⁡ y d y

Passo 3

Vamos resolver essa integral:

L = ∫ - π 4 π 4 sec 2 ⁡ y d y

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ sec 2 ⁡ y d y = tg ⁡ y + C

Passo 4

Voltando para a nossa integral definida:

L = ∫ - π 4 π 4 sec 2 ⁡ y d y = tg ⁡ y - π 4 π 4 =

tg ⁡ π 4 - tg ⁡ - π 4 =

1 - - 1 =

1 + 1 = 2

Passo 5

Segue o gráfico dessa função para enxergamos como ela é:

Resposta

2

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14) Ache o comprimento do arco da curva a y 2 = x 3 da origem ao ponto (4a, 8a)
O comprimento de uma barra é 8 m e a densidade linear da barra num ponto 2 x m do extremo esquerdo é 2 x + 1 kg/m . ache a massa total da barra e seu centro de massa.
32- Determine a função comprimento de arco para a curva do Exercício 8, usando ( 0 ,1 / 4 ) como ponto inicial. Qual é o comprimento da curva de ( 0 ,1 / 4 ) até ( 1 ,59 / 24 ) ?
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