Enunciado

Ache o comprimento do laço da curva x = 3 t - t^3 , y = 3 t^2 .

Passo 1

Queremos calcular o comprimento da curva x = 3 t - t^3 , y = 3 t^2 .

Sabemos que o comprimento L de uma curva pode ser calculado pela integral:

L = int_a^b sqrt(((d x)/(d t))^2 + ((d y)/(d t))^2) d t

(d x)/(d t) e (d y)/(d t) nós sabemos calcular, resta encontrar os limites de integração a e b . Podemos encontrá-los fazendo x = 0 e achando os valores de t :

3 t - t^3 = 0

t (t^2 - 3) = 0

t (t - sqrt(3)) (t + sqrt(3))

Então nossas soluções são: t = 0 , t = +- sqrt(3)

Quando t = - sqrt(3) , nós temos y = 27 e x = 0

Quando t = 0 , temos y = 0 e x = 0

E quando t = sqrt(3) , temos y = 27 e x = 0

Isso significa que o laço existe para - sqrt(3) < t < sqrt(3)

Agora podemos calcular nossa integral:

L = int_(- sqrt(3))^(sqrt(3)) sqrt((3 t^2 - 3)^2 + (6 t)^2) d t

L = 3 int_(- sqrt(3))^(sqrt(3)) sqrt((t^2 - 1)^2 + (2 t)^2) d t

L = 3 int_(- sqrt(3))^(sqrt(3)) sqrt(t^4 - 2 t^2 + 1 + 4 t^2) d t

L = 3 int_(- sqrt(3))^(sqrt(3)) sqrt(t^4 + 2 t^2 + 1) d t

L = 3 int_(- sqrt(3))^(sqrt(3)) sqrt((t^2 + 1)^2) d t

L = 3 int_(- sqrt(3))^(sqrt(3)) t^2 + 1 d t

L = 3 [ (t^3)/(3) + t ]_(- sqrt(3) )^(sqrt(3))

= 3 [((sqrt(3))^3)/(3) + (sqrt(3))] - 3 [((- sqrt(3))^3)/(3) + (- sqrt(3))]

= 6 [((sqrt(3))^3)/(3) + (sqrt(3))]

= 6 [ sqrt(3) + sqrt(3) ]

= 12 sqrt(3)

Então o comprimento dessa curva é L = 12 sqrt(3)

Resposta

L = 12 sqrt(3)

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