Enunciado

Verificar se as curvas dadas estão parametrizadas pelo comprimento de arco:

r → s = 4 cos ⁡ s 4 ,   4 s e n s 4 ,   s ∈ 0 ,   8 π

Passo 1

Pra verificar se uma curva está parametrizada pelo comprimento de arco, a gente só tem um trabalho: vamos derivar a parametrização da curva e calcular o módulo dessa derivada. Se o módulo for igual a 1 , podemos dizer que sim, ela está parametrizada pelo comprimento de arco! Então é isso que vamos fazer.

Passo 2

A nossa função r → ( s ) é:

r → s = 4 cos ⁡ s 4 ,   4 s e n s 4

Derivando,

r ' → s = - 4 × 1 4 × s e n s 4 ,   4 × 1 4 × cos ⁡ s 4

r ' → s = - s e n s 4 ,   cos ⁡ s 4

Passo 3

Prontinho, temos a função derivada. Agora vamos ver se o módulo dessa derivada é unitário:

r ' → s 2 = - s e n s 4 2 + cos ⁡ s 4 2

Desenvolvendo,

r ' → s 2 = s e n 2 s 4 + cos 2 ⁡ s 4    

Apareceu a relação fundamental da trigonometria!

r ' → s 2 = 1

r ' → s = 1

Beleza, como o módulo é unitário, então essa função está parametrizada pelo comprimento de arco!

Resposta

Está parametrizada pelo comprimento de arco.

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