Escreva a função comprimento de arco de:

c) r(t) = (t, t^2)

Passo 1

A ideia nessas questões de calcular a função comprimento de arco da curva é lembrar da formula lá da teoria, deixa eu te lembrar:

l t = ∫ 0 t r ' → t d t

Passo 2

Incialmente, vamos encontrar r ' → t . Vem comigo!

r → t = t ,   t 2

Derivando,

r ' → t = 1 ,   2 t

Passo 3

Agora que já encontramos r ' → t , vamos ver como fica o modulo desse vetor!

r ' → t = 1 2 + 2 t 2

Assim,

r ' → t = 1 + 4 t 2

Para calcularmos esse integral, temos que fazer uma substituição. Então vem comigo!

2 t = t g u

Derivando,

2 d t = sec 2 ⁡ u d u → d t = sec 2 ⁡ u d u 2

Opa, mas como fizemos uma substituição temos que mudar os limites de integração

Para t = 0 :

t g u = 0 → u = 0

Para t = π :

t g u = t → u = a r c t g t

Então nossa integral fica o seguinte:

l = ∫ 0 a r c t g t 1 + t g 2 u sec 2 ⁡ u d u 2

Como 1 + t g 2 u = sec 2 ⁡ u :

l = ∫ 0 a r c t g t sec ⁡ u × sec 2 ⁡ u d u 2

Portanto,

l = 1 2 ∫ 0 a r c t g t sec 3 ⁡ u d u

Passo 4

l = 1 2 ∫ 0 a r c t g t sec 3 ⁡ u d u

Para começar, vamos escrever da seguinte forma:

l = 1 2 ∫ 0 a r c t g t sec 2 ⁡ u sec ⁡ u d u

Como 1 + t g 2 u = sec 2 ⁡ u :

l = 1 2 ∫ 0 a r c t g t 1 + t g 2 u sec ⁡ u d u

Assim,

l = 1 2 ∫ 0 a r c t g t sec ⁡ u + t g 2 u sec ⁡ u d u

Separando em dois termos:

l = 1 2 ∫ 0 a r c t g t sec ⁡ u d u + 1 2 ∫ 0 a r c t g t t g 2 u sec ⁡ u d u

Não esquece: ∫ sec ⁡ x d x = l n | s e c x + t g ( x ) | + c

Logo,

l = 1 2 l n s e c x + t g x 0 a r c t g t + 1 2 ∫ 0 a r c t g t t g 2 u sec ⁡ u d u   i

Passo 5

Para terminarmos, basta calcularmos o segundo termo:

I = 1 2 ∫ 0 a r c t g t t g 2 u sec ⁡ u d u

Reescrevendo a integral:

I = 1 2 ∫ 0 a r c t g t t g u × sec ⁡ u t g u d u

Agora vamos usar integração por partes!

∫ 0 a r c t g t   f d g = f g 0 a r c t g t - ∫ 0 a r c t g t g d f   i i

Analisando a integral:

d g = sec ⁡ u t g u → g = sec ⁡ u

f = t g u → d f = sec 2 ⁡ u d u

Usando a relação i i :

∫ 0 a r c t g t t g 2 u sec ⁡ u d u = t g u sec ⁡ u 0 a r c t g t - ∫ 0 a r c t g t sec ⁡ u × sec 2 ⁡ u d u

Portanto,

∫ 0 a r c t g t t g 2 u sec ⁡ u d u = t g u sec ⁡ u 0 a r c t g t - ∫ 0 a r c t g t sec 3 ⁡ u d u

Opa, mas ∫ 0 a r c t g t sec 3 ⁡ u d u = 2 l . Logo,

∫ 0 a r c t g t t g 2 u sec ⁡ u d u = t g u sec ⁡ u 0 a r c t g t - 2 l

Passo 6

Voltando para i :

l = 1 2 l n s e c x + t g x 0 a r c t g t + 1 2 t g u sec ⁡ u 0 a r c t g t - l

Assim,

l = 1 4 l n s e c x + t g x 0 a r c t g t + 1 4 t g u sec ⁡ u 0 a r c t g t

O primeiro termo fica o seguinte:

1 2 l n s e c x + t g x 0 a r c t g t = 1 2 l n s e c a r c t g t + t g a r c t g t - l n s e c 0 + t g 0

Fazendo as contas:

1 2 l n s e c x + t g x 0 a r c t g t = 1 2 ln ⁡ t + t 2 + 1

Já o segundo:

1 2 t g u sec ⁡ u 0 a r c t g t =   1 2 t g a r c t g t sec ⁡ a r c t g t - t g 0 sec ⁡ 0

Fazendo as contas:

1 2 t g u sec ⁡ u 0 a r c t g t = 1 2 t t 2 + 1

Portanto, o termo l fica o seguinte:

l t = 1 2 ln ⁡ t + t 2 + 1 + 1 2 t t 2 + 1

Resposta

l t = 1 2 ln ⁡ t + t 2 + 1 + 1 2 t t 2 + 1

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