Enunciado

Nos exercícios de 15 a 18, use o método de Newton para encontrar, com quatro casa decimais, a coordenada x do ponto de interseção no primeiro quadrante dos gráficos das duas equações.

Passo 1

Fazendo h x = x 2   e   g x = s e n   x , teremos o gráfico abaixo:

Para que haja interseção, devemos observar que 1 2 x = s e n   x , dessa maneira, 1 2 x - s e n x = 0 . Com isso, podemos considerar f x = 1 2 x - s e n x   e achar a raiz dessa função no primeiro quadrante.

Passo 2

Pelo Método de Newton, temos que x n + 1 = x n - f x n f ' x n .   Calculando f ' ( x ) temos que:

f x = 1 2 x - s e n x → f ' x = 1 2 - c o s x

x n + 1 = x n - x n 2 - s e n x n 1 2 - c o s x n

Passo 3

Analisando o gráfico, vemos que uma e escolha razoável é x 1 = 2 . Utilizando a relação do método, formaremos a seguinte tabela:

Passo 4

Como x 4 = x 5 , temos que a raiz aproximada de f ( x ) é 1,8954.

Resposta

x = 1,8954

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Deduza o método de Newton a partir de sua interpretação geométrica.
Aplique o método de Newton-Raphson à equação: x 3 - 2 x 2 - 3 x + 10 = 0 com x 0 = 1.9 . Justifique o que acontece.
Encontre uma raiz da equação: p ( x ) = x 4 - 6 x 3 + 10 x 2 - 6 x + 9 = 0 , aplicando o método de Newton para polinômios.
Use o método de Newton-Raphson para obter a menor raiz positiva das equações a seguir com precisão ϵ = 1 0 - 4 x 2 - t g ( x ) = 0 2 c o s ( x ) = e x 2 x 5 - 6 = 0
Seja f ( x ) = e x - 4 x 2 e ξ sua raiz no intervalo (0,1). Tomando x 0 = 0.5 , encontre ξ com ϵ = 1 0 - 4 , usando:o MPF com φ ( x ) = 1 2 e x / 2 ;o método de Newton.Compare a rapidez de convergênci