Enunciado

Ache o conjunto solução da desigualdade dada e mostre-o na reta numérica real

x 2 + 3 x + 1 > 0

Passo 1

Encontrar o conjunto solução é a mesma coisa que encontrar alguma restrição para x que satisfaça a equação acima. Vamos completar o quadrado e combinar os intervalos que encontrarmos a partir do módulo.

Passo 2

Estamos procurando o quadrado de uma soma:

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2

Como temos o termo x 2   sozinho, sabemos que ele é o nosso a 2 e podemos concluir pelo termo que acompanha o x que:

3 x = 2 x b

Então,

b = 3 2

Ficamos com:

x + 3 2 2 = x 2 + 3 x + 9 4

Estamos quase lá! Para que isso fique igual ao lado esquerdo da nossa inequação só resta somar alguém nessa equação para que o termo independente seja 1 . Vamos chamar esse alguém de c , Ou seja:

x + 3 2 2 + c = x 2 + 3 x + 9 4 + c = x 2 + 3 x + 1

Por igualdade de polinômios, podemos concluir que:

9 4 + c =   1

Daí temos que:

c =   - 5 4

Logo:

x + 3 2 2 - 5 4 = x 2 + 3 x + 1

Eba! Agora podemos substituir na inequação!

x + 3 2 2 - 5 4 > 0

Passando o - 5 4 pra lá com o sinal trocado:

x + 3 2 2 > 5 4

Tirando a raiz dos dois lados:

| x + 3 2 | > 5 4  

Lembre-se que: x 2 = | x |

Agora é só lembrar de como lidar com módulos em inequações:

x > a  

É o mesmo que:

x < - a

ou

x > a

Ou seja:

x + 3 2 < - 5 4

ou

x + 3 2 > 5 4

Jogando o 3 2   pro outro lado nas duas inequações, ficamos com ambos os intervalos: x < - 5 - 3 2 e   x > 5 - 3 2 . Teremos os dois conjuntos solução: - ∞ , - 5 - 3 2 ou 5 - 3 2 ,   + ∞

Passo 3

Para o intervalo - ∞ , - 5 - 3 2   teremos a seguinte reta numérica:

Para o intervalo 5 - 3 2 ,   + ∞ teremos essa reta numérica aqui:

Resposta

- ∞ , - 5 - 3 2  

OU

5 - 3 2 ,   + ∞

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Resolva a inequação c ) x 2 + x + 1 ≤ 0
Resolva a inequação b ) x 2 + x + 10
Resolva a inequação d ) x 2 + 5 ≤ 0
Prove: 5 x + 3 x 2 + 1 ≥ 5 ↔5 x + 3 ≥ 5 ( x 2 + 1 )
15. A afirmação “para todo x real, x ≠ 2 , x 2 + x + 1 x - 23 ⇔ x 2 + x + 13 ( x - 2 ) ” é falsa ou verdadeira? Justifique.