Enunciado

15. A afirmação “para todo x real, x ≠ 2 , x 2 + x + 1 x - 2 > 3 ⇔ x 2 + x + 1 > 3 ( x - 2 ) ” é falsa ou verdadeira? Justifique.

Passo 1

Bom! O método científico diz que a gente tem de avaliar todas as hipóteses possíveis antes de dizer que uma afirmação é falsa. Sendo assim, é isso que vamos fazer!

A questão nos pede para ver se pra todo x ≠ 2 , acontece a seguinte coisa...

x 2 + x + 1 x - 2 > 3 ⇔ x 2 + x + 1 > 3 ( x - 2 )

Deste modo, nós temos que verificar as seguintes situações: quando x < 2 e x > 2 .

Passo 2

Vamos começar com o intervalo x > 2 .

O problema nos forneceu a seguinte informação,

x 2 + x + 1 x - 2 > 3

Ou seja, essa divisão tem como resultado um número positivo! Então vamos avaliar o sinal do numerador e denominador.

Para x > 2 , temos que o denominador é maior que zero,

x - 2 > 0

E também que o numerador é maior que zero

x 2 + x + 1 > 0

Como tanto o numerador quanto o denominador são maiores que zero, essa divisão é uma número positivo. E a inequação tá dizendo pra gente que o numerador é 3 vezes maior do que o denominador, a afirmação é válida!

Mas não podemos dizer que é verdadeira. Então vamos avaliar o segundo caso para saber se chegamos a uma conclusão!

Passo 3

O raciocínio para x < 2 é análogo ao anterior, ou seja, vamos avaliar o numerador e denominador da inequação!

Para x < 2 , temos que o denominador será menor que zero (negativo),

x - 2 < 0

Já o numerador será maior que zero (positivo),

x 2 + x + 1 > 0

Deste modo, temos um número positivo no numerador e outro negativo no denominador, ou seja, a nossa divisão é um número negativo. E a inequação tá dizendo pra gente que o numerador é 3 vezes maior do que o denominador, ou seja, a afirmação é falsa!

Beleza? Vamos pra próxima!

Resposta

F a l s a .     I s s o   é   v a l i d o   a p e n a s   p a r a   x > 2

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Resolva a inequação e ) x - 3 x 2 + 50
Resolva a inequação j ) x x 2 + x + 1 ≥ 0
Resolva a inequação i ) 2 x - 3 x 2 + 10
Resolva a inequação g )x x 2 + 1 ≥ 0
Resolva a inequação f ) 2 x + 1 x 2 + x + 1 ≤ 0