Enunciado

Ache o conjunto solução da desigualdade dada e mostre-o na reta numérica real

x + 2 2 x - 3 < 4

Passo 1

Podemos dividir essa inequação modular em duas inequações:

x + 2 2 x - 3 < 4

x + 2 2 x - 3 > - 4

Deixando todo mundo de um lado na 1ª inequação, ficamos com:

x + 2 2 x - 3 - 4 < 0

Se nós encontrarmos os valores de x para que o lado esquerdo da inequação seja negativo, teremos o nosso conjunto solução!

Isolando todo mundo de um lado na 2ª inequação, ficamos com:

x + 2 2 x - 3 + 4 > 0

A mesma coisa acontece aqui, mas nesse caso precisamos que o que está do lado esquerdo da inequação seja positivo!

Passo 2

Vamos começar pela 1ª inequação:

x + 2 2 x - 3 - 4 < 0

Tirando o MMC:

x + 2 - 4 2 x - 3 2 x - 3 < 0

x + 2 - 8 x + 12 2 x - 3 < 0

Simplificando:

- 7 x + 14 2 x - 3 < 0

- 7 x - 2 2 x - 3 < 0

Dividindo os dois lados por - 7 e invertendo o sinal da desigualdade:

x - 2 2 x - 3 > 0

Bem melhor né? Agora é só encontrar as raízes do numerador e do denominador e fazer a nossa tabelinha de boinhas.

Passo 3

As raízes serão:

x 1 = 3 2

x 2 = 2

Daí já sabemos que nossos intervalos serão:

- ∞ , 3 2 ,   3 2 ,   2 ,   2 ,   + ∞

Agora montamos a tabelinha pra facilitar nossa vida e nos mostrar os valores positivos da nossa inequação!

Passo 4

Nossa tabelinha fica então:

Como queremos os intervalos onde a nossa equação é positiva, vamos ficar com os intervalos:

- ∞ , 3 2   o u   2 ,   + ∞

Pronto, temos os intervalos para a nossa 1ª inequação! Se não tivéssemos aquele módulo, essa seria a nossa resposta, mas ainda temos que analisar a segunda inequação.

Passo 5

Vamos repetir os mesmos passos para a 2ª inequação:

x + 2 2 x - 3 + 4 > 0

Tirando o MMC maroto:

x + 2 + 4 2 x - 3 2 x - 3 > 0

x + 2 + 8 x - 12 2 x - 3 > 0

Simplificando:

9 x - 10 2 x - 3 > 0

Agora com nossa fração de polinômios podemos encontrar nossas raízes e montar nossa tabelinha de sinais.

Passo 6

Nossas raízes serão:

x 1 = 10 9

x 2 = 3 2

Daí os nossos intervalos de análise serão:

- ∞ , 10 9 , 10 9 , 3 2 ,   3 2 ,   + ∞

Obs: não precisamos analisar o valor da nossa equação nas raízes, pois estamos interessados apenas nos valores positivos dela. Se analisássemos as raízes teríamos uma indeterminação e um valor nulo, como aconteceu na análise da 1ª equação. Se o nosso intervalo fosse fechado ( ≥ 0 ou ≤ 0 ) nós teríamos que analisar as raízes.

Passo 7

Na nossa tabela de sinais ficamos com:

Nossos intervalos serão:

- ∞ , 10 9   o u   3 2 ,   + ∞

Passo 8

Maravilha! Agora é só combinar os nossos intervalos!

- ∞ , 3 2   o u   2 ,   + ∞   e   - ∞ , 10 9   o u   3 2 ,   + ∞

Fazendo as devidas interseções:

- ∞ , 10 9 ,   2 ,   + ∞

Esse é o nosso conjunto solução!

Passo 9

Na reta numérica real nosso conjunto solução fica:

Resposta

- ∞ , 10 9 ,   2 ,   + ∞

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use o gráfico de f para encontrar um número δ tal que se 0x - 3δ então f x - 20,5
Use um gráfico para encontrar um número δ tal que 4 x + 1 - 30,5 sempre que x - 2δ .
Use um gráfico para encontrar um número δ tal que s e n x - 1 20,1 sempre que x - π 6δ .
Quão próximo de 2 devemos tomar x para que 5 x + 3 esteja a uma distância de 13 menor que a 0,1eb0,01 ?
Use um gráfico para encontrar um número δ tal que x x 2 + 1 ⋅ x - 1 2100 sempre que 0x - 1δ .