Enunciado

Use o gráfico de f para encontrar um número δ tal que se 0 < x - 3 < δ então f x - 2 < 0,5

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! O enunciado nos dá esse gráfico aqui:

A primeira coisa que podemos observar nesse gráfico é que x ≠ 3 . Mas vamos ao que interessa!

O enunciado pede pra a gente, a partir do gráfico acima, encontrar um número δ tal que satisfaça as seguintes condições:

0 < x - 3 < δ

f x - 2 < 0,5

Huuum, isso lembra a alguma coisa, vamos olhar a definição de limite:

lim x → a ⁡ f x = L

Se para todo número ϵ > 0 houver um número δ > 0 tal que:

Se 0 < x - a < δ então f x - L < ϵ

Passo 2

Antes de qualquer coisa, vamos tirar esses carinhas do módulo. Dessa forma vamos ter:

0 < x - 3 < δ

0 < - x - 3 < δ → - δ < x - 3 < 0

Assim:

- δ < x - 3 < δ

Agora fazemos o mesmo pra f x - 2 < 0,5 :

f x - 2 < 0,5

- f x - 2 < 0,5 → - 0,5 < f x - 2

- 0,5 < f x - 2 < 0,5

Passo 3

Temos que:

- 0,5 < f x - 2 < 0,5

Somando 2 a todos os membros:

- 0,5 + 2 < f x < 0,5 + 2

1,5 < f x < 2,5

Analisando o gráfico, podemos ver que nesse intervalo de f ( x ) , temos:

2,6 < x < 3,8    

A gente sabe que:

- δ < x - 3 < δ

Somando 3 a todos os membros:

- δ + 3 < x < δ + 3

Então podemos concluir que:

- δ + 3 = 2,6

δ = 0,4

E:

δ + 3 = 3,8

δ = 0,8

Passo 4

Agora vamos estudar as duas possibilidades, lembrando que pelo nosso gráfico temos:

2,6 < x < 3,8    

Primeiro faremos δ = 0,4 :

- δ + 3 < x < δ + 3

- 0,4 + 3 < x < 0,4 + 3

2,6 < x < 3,4

Nesse caso o δ esta dentro do nosso intervalo! Mas vamos testar δ = 0,8 :

3 + δ = 3,8 → δ = 0,8

- 0,8 + 3 < x < 0,8 + 3

2,2 < x < 3,8

Esse valor de δ não serve, pois temos o 2,2 está fora do intervalo, então temos δ = 0,4 .

Resposta

δ = 0,4

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