Enunciado

Use um gráfico para encontrar um número δ tal que 4 x + 1 - 3 < 0,5 sempre que x - 2 < δ .

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Bom, essa questão pede pra gente usar um gráfico para encontrar um número δ tal que 4 x + 1 - 3 < 0,5 sempre que x - 2 < δ .

O que devemos fazer aqui é dizer qual é o número δ que respeita essa condição. Vamos então traçar o gráfico de 4 x + 1 - 3 para ver isso acontecendo. Vem que te ajudo com isso.

Passo 2

Antes de plotarmos o gráfico vamos fazer algumas modificações na expressão para tornar nossa resolução mais simples. Observe que:

4 x + 1 - 3 < 0,5

Tirando do módulo, teremos:

- 0,5 < 4 x + 1 - 3 < 0,5

E resolvendo dos dois lados, ficamos com:

2,5 < 4 x + 1 < 3,5

Perfeito.

Passo 3

Agora vamos plotar essas três curvas. Sendo elas:

g = 2,5

h = 4 x + 1

f = 3,5

Plotando as 3 curvas vamos obter o seguinte gráfico

Perceba que a curva h ficou entre as duas retas f e g .

Passo 4

Olhando as interseções das curvas obtemos os seguintes pontos 1.3125 ,   2.5   e   ( 2.8125 ,     3.5 ) . Dessa forma, podemos verificar um valor para δ

2 - x < δ

2 - 1.3125 = 0.6875

2 - 2.8125 = 0.8125

Nosso δ vai ser o valor mínimo entre os 2, portanto, 0 < δ < 0.6875

Resposta

δ = 0.6875

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Demonstre que lim x → a ⁡ x = a se a0 . [ Sugestão: Use x - a = x - a x + a ]
Use o gráfico dado de f para encontrar um número δ tal que se 0x - 5δ então f ( x ) - 30,6
Use um gráfico para encontrar um número δ tal quese x - 1δ então 2 x x 2 + 4 - 0,40,1
Use um gráfico para encontrar um número δ tal quese x - π 4δ então tg ⁡ x - 10,2
Use o gráfico dado de f x = 1 x para encontrar um número tal que δ se x - 2δ então 1 x - 0,50,2