Enunciado

Ache, pelo corte, o volume de um tetraedro com três faces mutuamente perpendiculares e três arestas mutuamente perpendiculares cujos comprimentos são a , b e c unidades.

Passo 1

A questão pede para acharmos o volume do tetraedro trirretângulo com arestas medindo a , b e c . Vamos posicionar essas três arestas mutuamente perpendiculares nos eixos x , y e z :

Para achar esse volume, precisamos escrever uma expressão em função de x para a área de uma secção (fatia) e depois integrar essa área em x de x = 0 até x = a . Para isso nós precisamos achar as equações da reta no plano x y e da reta no plano x z . Essas equações nos darão a altura e a base da seção transversal que iremos integrar!

No plano x y , a reta passa pelos pontos ( 0 ,   b ) e ( a ,   0 ) , assim, sua equação deve ser

y = b - b a x = b 1 - x a

Já no plano x z , ela passa pelos pontos ( 0 ,   c ) e ( a ,   0 ) , de modo que

z = c - c a x = c   1 - x a

Temos então que

b a s e = c   1 - x a         e           a l t u r a = b   1 - x a

Desta forma, a área da secção transversal (que é um triângulo) será

A x = 1 2 b a s e ⋅ a l t u r a = 1 2 y z = b c 2 1 - x a 2

Para acharmos o volume, basta integrar:

V = ∫ 0 a A x   d x

Passo 2

Desta forma, temos que

V = b c 2 ∫ 0 a 1 - 2 x a + x 2 a   d x

Fazendo a integração:

V = b c 2 x - x 2 a + x 3 3 a 0 a

Portanto,

V = b c 2 a - a + a 2 3 = a b c 6

Resposta

a b c 6

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