Enunciado

Uma tigela tem a forma de um hemisfério com diâmetro de 30   c m . Uma bola pesada com diâmetro de 10   c m é colocada dentro da tigela, e depois despeja-se água até uma profundidade de h centímetros. Encontre o volume de água na tigela.

Passo 1

Nesse problema uma bola dentro de uma tigela com água. Queremos saber o volume de água dentro dessa tigela!

Nós consideraremos dois casos, um em que a bola não é completamente submersa, e outro, em que é. Com as informações dadas faremos os seguintes diagramas:

Passo 2

Caso 1: a bola não é completamente mergulhada, então a altura h varia em 0 ≤ h ≤ 10 . A seção transversal de água paralela à superfície será a área sombreada do primeiro diagrama. Nós podemos encontrar a área da seção transversal de altura x acima do fundo do arco usando o Teorema de Pitágoras:

R 2 = 15 2 - ( 15 - x ) ²

r 2 = 5 2 - ( x - 5 ) ²

Com isso, temos a seguinte área:

A x = π R 2 - r 2 = 20 π x

Assim, o volume de água com profundidade h é:

V h = ∫ 0 h A ( x ) d x = ∫ 0 h 20 π x d x = 10 π x 2 0 h = 10 π h 2 c m 3 ,   0 ≤ h ≤ 10

Passo 3

Caso 2: Neste caso, podemos encontrar o volume simplesmente subtraindo o volume deslocado pela bola do volume total dentro da tigela sob a superfície da água. O volume total sob a superfície é apenas o volume de uma tampa da tigela, então usamos a fórmula do exercício 49 para nossa resolução:

V t a m p a ( h ) = 1 3 π h ² ( 45 - h )

O volume da bola é:

V b o l a = 4 3 π 5 3 = 500 3 π

Assim, o volume total é:

V t a m p a - V b o l a = 1 3 π 45 h 2 - h 3 - 500 c m ³

Prontinho!

Resposta

Com a bola não completamente submersa, V = 10 π h 2 c m 3 ,   0 ≤ h ≤ 10 .

Com a bola completamente submersa, V = 1 3 π 45 h 2 - h 3 - 500 c m ³ .

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