Ache a derivada da função dada.

f(x) = (5-x^2)^(1/2) \* (x^3+1)^(1/4)

Passo 1

Devemos encontrar a derivada da função. Como se trata de um exercício para treinar técnicas de derivação, não vamos nos preocupar com o domínio da função e de sua derivada.

Primeiro, apliquemos a regra do produto:

f ' x = 5 - x 2 1 2 ' ⋅ x 3 + 1 1 4 + 5 - x 2 1 2 ⋅ x 3 + 1 1 4 '

Agora só precisamos achar essas derivadas que resolvemos o problema!

Passo 2

Para achar 5 - x 2 1 2 ' , vamos aplicar a regra da cadeia:

5 - x 2 1 2 ' = 1 2 5 - x 2 1 2 - 1 ⋅ 5 - x 2 ' = - 2 x 2 5 - x 2 - 1 2 = - x 5 - x 2 1 / 2

Para x 3 + 1 1 4 ' , fazemos a mesma coisa:

x 3 + 1 1 4 ' = 1 4 x 3 + 1 1 4 - 1 ⋅ x 3 + 1 ' = 3 x 2 4 x 3 + 1 - 3 4 = 3 x 2 4   x 3 + 1 3 / 4

Passo 3

Assim, para achar f ' basta substituir na expressão encontrada no passo 1:

f ' x = - x   x 3 + 1 1 4 5 - x 2 1 2 + 3 x 2   5 - x 2 1 2 4   x 3 + 1 3 / 4

Resposta

f ' x = - x   x 3 + 1 1 4 5 - x 2 1 2 + 3 x 2   5 - x 2 1 2 4   x 3 + 1 3 / 4

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