Encontre a derivada da função.

y = cotg^2(sen(theta))

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos derivar a seguinte função:

y = cotg 2 ⁡ sin ⁡ θ

Mas para isso vamos precisar usar a regra da cadeia, que é:

d y d θ = d u d θ × d y d u

A gente pega o que ta dificultando a nossa derivação e chama ela de u ! Mas o que ta dificultando?

Você concorda comigo que se tivéssimos:

y = cotg 2 ⁡ u

A derivação seria mais simples?!

Então:

u = sin ⁡ θ  

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Vamos começar!!

Primeiro achamos d u d θ :

d u d θ = d d θ sin ⁡ θ     = cos ⁡ θ

Passo 3

Agora vamos para próxima:

y = cotg 2 ⁡ u

E agora?! Como a gente resolve?!

Podemos usar a regra da cadeia de novo!!

y = v 2

v = c o t g   ( u )

Temos a regra da cadeia:

d y d u = d y d v × d v d u

Primeiro derivamos y :

d y d v = 2 v

Agora v :

d v d u = - c o s s e c 2 ( u )

Substituindo na regra da cadeia:

d y d u = 2 v × - c o s s e c 2 u

Substituindo v :

d y d u = 2 c o t g   ( u ) × - c o s s e c 2 u

Passo 4

Nos Passos 2 e 3 encontramos:

d u d θ = cos ⁡ θ

d y d u = 2 c o t g   ( u ) × - c o s s e c 2 u

Podemos substituir na regra da cadeia do Passo 1:

d y d θ = d u d θ × d y d u

Ficamos com:

d y d θ = cos ⁡ θ × 2 c o t g   u × - c o s s e c 2 u

Relembrando que:

u = sin ⁡ θ  

Então:

d y d θ = cos ⁡ θ × 2 c o t g   sin ⁡ θ × - c o s s e c 2 sin ⁡ θ

Dando uma arrumadinha:

d y d θ = - 2 cos ⁡ θ × c o t g   sin ⁡ θ × c o s s e c 2 sin ⁡ θ

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

d y d θ = - 2 cos ⁡ θ × c o t g   sin ⁡ θ × c o s s e c 2 sin ⁡ θ

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