Ache a derivada da função dada.

g(y) = (y^2 + 3)^(1/3) * (y^3 - 1)^(1/2)

Passo 1

Devemos encontrar a derivada da função. Como se trata de um exercício para treinar técnicas de derivação, não vamos nos preocupar com o domínio da função e de sua derivada.

Primeiro, apliquemos a regra do produto:

g ' y = y 2 + 3 1 3 ' ⋅ y 3 - 1 1 2 + y 2 + 3 1 3 ⋅ y 3 - 1 1 2 '  

Agora só precisamos achar essas derivadas que resolvemos o problema!

Passo 2

Para achar 5 - x 2 1 2 ' , vamos aplicar a regra da cadeia:

y 2 + 3 1 3 ' = 1 3 y 2 + 3 1 3 - 1 ⋅ y 2 + 3 ' = 2 y 3 y 2 + 3 - 2 3 = 2 y 3   y 2 + 3 2 / 3

Para y 3 - 1 1 2 ' , fazemos a mesma coisa:

y 3 - 1 1 2 ' = 1 2 y 3 - 1 1 2 - 1 ⋅ y 3 - 1 ' = 3 y 2 2 y 3 1 1 - 1 2 = 3 y 2 2   y 3 - 1 1 / 4

Passo 3

Assim, para achar g ' basta substituir na expressão encontrada no passo 1:

g ' x = 2 y   y 3 - 1 1 2 3   y 2 + 3 2 / 3 + 3 y 2   y 2 + 3 1 3 2   y 3 - 1 1 / 4

Resposta

g ' x = 2 y   y 3 - 1 1 2 3   y 2 + 3 2 / 3 + 3 y 2   y 2 + 3 1 3 2   y 3 - 1 1 / 4

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