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Ache as dimensões do cilindro circular reto de maior área de superfície lateral que possa ser inscrito numa esfera com um raio de 6   cm.

Passo 1

Essas questões têm um jeito bem metódico de resolver, saca só:

  1. Precisamos de uma equação que associe a variável que queremos maximizar e outra variável do problema. Essa é normalmente a parte mais difícil do problema.
  2. Depois que temos essa função, vamos encontrar a derivada dela e procurar os valores onde ela se iguala a 0 e os valores onde ela não existe.
  3. A partir do Teorema do Valor Extremo vamos encontrar os máximos e mínimos comparando os valores da função original nos extremos do intervalo e nos pontos onde a derivada é nula ou inexistente.

Passo 2

Imagine um cilindro inscrito em uma esfera de raio R . Agora imagine que ϕ é o ângulo entre o eixo central do cilindro e o ponto superior de interseção entre o cilindro e a esfera. Daí já podemos restringir ϕ no conjunto 0 , π 2 :

Então o raio r desse cilindro será:

r = R sin ⁡ ϕ

E sua altura h será:

h = 2 R cos ⁡ ϕ

Daí podemos tirar a área superficial da lateral do cilindro:

A ϕ = 2 π ∙ r ∙ h

Substituindo as expressões que temos para r e h :

A ϕ = 2 π ∙ R sin ⁡ ϕ ∙ 2 R cos ⁡ ϕ

Agora deixando tudo bonitinho:

A ϕ = 4 π R 2 sin ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ

Essa é a nossa função marota! Agora precisamos derivar e igualar a derivada a 0 .

Passo 3

Derivando:

d A d ϕ = 4 π R 2 cos ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ + - sin ⁡ ϕ sin ⁡ ϕ

d A d ϕ = 4 π R 2 cos 2 ⁡ ϕ - sin 2 ⁡ ϕ

Agora igualando a 0 :

4 π R 2 cos 2 ⁡ ϕ - sin 2 ⁡ ϕ = 0

Como 4 π R 2 > 0 , então:

cos 2 ⁡ ϕ - sin 2 ⁡ ϕ = 0

cos 2 ⁡ ϕ = sin 2 ⁡ ϕ

Ou seja:

sin 2 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ ϕ = 1

tan 2 ⁡ ϕ = 1

O único valor de ϕ que satisfaz essa equação é π 4 , então vamos usar ele para achar as dimensões do cilindro.

Passo 4

Agora vamos substituir o valor de R e de ϕ na equações do raio e da altura do cilindro e encontraremos suas dimensões.

r = 6 sin ⁡ π 4 = 3 2

h = 2 ∙ 6 cos ⁡ π 4 = 6 2

Resposta

O raio é 3 2 cm, a altura é 6 2 cm.

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