∫ x 2 d x x 2 + x - 6

Passo 1

Primeiro vemos que as raízes do denominador são 2 e -3, logo podemos reescrever a equação de forma mais fácil para resolver o problema.

∫ x 2 d x ( x - 2 ) ( x + 3 )

Para x diferente de 2 e -3.

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

x 2 d x ( x - 2 ) ( x + 3 ) = A ( x - 2 ) + B ( x + 3 )

Isolando x 2 , vamos achar

x 2 = A x + 2 + B ( x - 3 )

Vemos que agora os valores 2 e -3 fazem parte do domínio. Substituindo esses valores na equação acima vamos achar os valores de A e B.

A = 4 5 ;                     B = - 9 5

Agora substituindo os valores de A e B, temos:

x 2 d x ( x - 2 ) ( x + 3 ) = 4 5 ( x - 2 ) + - 9 5 ( x + 3 )

Simplificando

x 2 d x ( x - 2 ) ( x + 3 ) = 1 5 4 ( x - 2 ) - 9 ( x + 3 )

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

∫ x 2 d x ( x - 2 ) ( x + 3 ) = 1 5 ∫ 4 d x ( x - 2 ) - ∫ 9 d x ( x + 3 )

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

∫ x 2 d x ( x - 2 ) ( x + 3 ) = 1 5 4 l n | x - 2 | - 9 l n | x + 3 |

Resposta

∫ x 2 d x x 2 + x - 6 = 1 5 4 l n | x - 2 | - 9 l n | x + 3 | + c

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