Enunciado

Ache as dimensões do maior campo retangular que pode ser fechado com 240 m de cerca.

Passo 1

Essas questões têm um jeito bem metódico de resolver, saca só:

  1. Precisamos de uma equação que associe a variável que queremos maximizar e outra variável do problema. Essa é normalmente a parte mais difícil do problema.
  2. Depois que temos essa função, vamos encontrar a derivada dela e procurar os valores onde ela se iguala a 0 e os valores onde ela não existe.
  3. A partir do Teorema do Valor Extremo vamos encontrar os máximos e mínimos comparando os valores da função original nos extremos do intervalo e nos pontos onde a derivada é nula ou inexistente.

Passo 2

Precisamos associar a área do retângulo aos valores das laterais do retângulo. Seja um retângulo de área A , comprimento x e largura y :

A x ,   y = 2 x 2 y = 4 x y

E além disso sabemos que temos 240 m de cerca, então o perímetro do retângulo não pode passar de 240 .

2 x + 2 y = 240

Agora precisamos deixar a equação da área com apenas uma variável. Vamos isolar o y em função de x na segunda equação:

x + y = 120

y = 120 - x

Agora substituindo y = 120 - x na nossa equação:

A x = 4 x 120 - x = 480 x - 4 x 2

Voilá! Temos a função do jeito que a gente quer. Perceba que é a equação de uma parábola com concavidade para baixo, então teremos um ponto onde a derivada se anula. Vamos fazer a derivada.

Passo 3

d A d x = 480 - 8 x

Agora igualando a 0 :

480 - 8 x = 0

8 x = 480

x = 60

Daí temos o nosso ponto de máximo! Vamos verificar na equação da área:

A 60 = 4 60 120 - 60

A 60 = 14400   m 2

Passo 4

Agora vamos achar o valor de y a partir da 2ª equação:

2 60 + 2 y = 240

60 + y = 120

y = 60

Daí vemos que na verdade teremos um quadrado de lado 60 . E prontinho, cabôsse!

Resposta

60   m por 60   m

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