Enunciado

Para um pacote ser aceito por um determinado serviço de entrega de encomendas, a soma do comprimento e do perímetro da seção transversal não deve ser maior do que 100 cm. Se um pacote tiver o formato de uma caixa retangular com uma secção quadrada, ache as dimensões do pacote tendo o maior volume possível que possa ser despachado.

Passo 1

Essas questões têm um jeito bem metódico de resolver, saca só:

  1. Precisamos de uma equação que associe a variável que queremos maximizar e outra variável do problema. Essa é normalmente a parte mais difícil do problema.
  2. Depois que temos essa função, vamos encontrar a derivada dela e procurar os valores onde ela se iguala a 0 e os valores onde ela não existe.
  3. A partir do Teorema do Valor Extremo vamos encontrar os máximos e mínimos comparando os valores da função original nos extremos do intervalo e nos pontos onde a derivada é nula ou inexistente.

Passo 2

Vamos começar atribuindo nomes às variáveis que temos. A questão diz que a soma de seu perímetro P e seu comprimento y não pode ser maior que 100 cm. Como queremos o maior volume possível, vamos ficar com:

P + y = 100

Se a caixa tem secção transversal quadrada, digamos que de lado x . O seu perímetro vai ser:

P = 4 x

Substituindo isso na outra equação:

4 x + y = 100

y = 100 - 4 x

Agora vamos para a equação do volume:

V x ,   y = x ∙ x ∙ y

V x ,   y = x 2 y

Vamos substituir a equação que temos para y :

V x = x 2 100 - 4 x

V x = - 4 x 3 + 100 x 2

Voilá! Agora é só derivar e igualar a zero e teremos o nosso ponto de volume máximo!

Passo 3

Derivando V :

d V d x = - 12 x 2 + 200 x

Igualando a 0 :

- 12 x 2 + 200 x = 0

12 x 2 = 200 x

Assumindo que x ≠ 0 :

12 x = 200

x = 50 3

Passo 4

Agora é só substituir o valor de x na equação de y e teremos todas as dimensões da caixa!

y = 100 - 4 50 3

y = 100 3

Resposta

50 3 cm por 50 3 cm por 100 3 cm.

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